专题突破　专题二　第2讲　数列求和 学案

第2讲　数列求和 1.(2022·新高考全国Ⅰ卷，T17)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1，是公差为的等差数列. (1)求{an}的通项公式； (2)证明：++…+<2. 2.(2024·全国甲卷，T18)记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn=3an+4. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn=(-1)n-1nan，求数列{bn}的前n项和Tn. 命题热度： 本讲是历年高考命题必考的内容，中高档题目都可考查，主要以解答题形式出现.分值约为8~17分. 考查方向： 考查重点一是考查三种常见的求和方法：分组求和、裂项相消求和、错位相减求和；二是考查奇偶项；三是数列中的子数列问题(公共项、增减项等). 1.(1)解　方法一　因为a1=1，所以=1， 又是公差为的等差数列， 所以=1+(n-1)×=. 因为当n≥2时，an=Sn-Sn-1， 所以=(n≥2)， 所以=(n≥2)， 整理得=(n≥2)， 所以··…··=××…·=(n≥2)， 所以Sn=(n≥2)， 又S1=1也满足上式， 所以Sn=(n∈N*)， 则Sn-1=(n≥2)， 所以an=- =(n≥2)， 又a1=1也满足上式， 所以an=(n∈N*). 方法二　因为a1=1，所以=1， 又是公差为的等差数列， 所以=1+(n-1)×=， 所以Sn=an. 因为当n≥2时， an=Sn-Sn-1=an-an-1， 所以an-1=an(n≥2)， 所以=(n≥2)， 所以·…··=×××…··=(n≥2)， 所以an=(n≥2)， 又a1=1也满足上式， 所以an=(n∈N*). (2)证明　因为an=， 所以==2， 所以++…+=2 =2<2. 2.解　(1)当n=1时， 4S1=4a1=3a1+4，解得a1=4. 当n≥2时，4Sn-1=3an-1+4， 所以4Sn-4Sn-1=4an=3an-3an-1， 即an=-3an-1， 而a1=4≠0，故an≠0， 故=-3(n≥2)， 所以数列{an}是以4为首项， -3为公比的等比数列， 所以an=4·(-3)n-1. (2)bn=(-1)n-1·n·4·(-3)n-1=4n·3n-1， 所以Tn=b1+b2+b3+…+bn =4·30+8·31+12·32+…+4n·3n-1， 故3Tn=4·31+8·32+12·33+…+4n·3n， 所以-2Tn=4·30+4·31+4·32+…+4·3n-1-4n·3n =4·-4n·3n =2(3n-1)-4n·3n =(2-4n)·3n-2， 所以Tn=(2n-1)·3n+1. 考点一　分组求和法 例1　(2025·苏州模拟)在数列{an}中，已知a2=2，且当n为奇数时，an+2=an+4，当n为偶数时，an=an-1+. (1)求{an}的通项公式； (2)求{an}的前2n项和S2n. 解　(1)依题意，a2=a1+=2，所以a1=1， 当n为奇数时，an+2=an+4， 即an+2-an=4， 则数列{an}的奇数项是首项为a1=1，公差为4的等差数列，于是an=1+×4=2n-1； 当n为偶数时，an=an-1+=[2(n-1)-1]+=3n-4. 所以an= (2)方法一　S2n=(a1+a3+a5+…+a2n-1)+(a2+a4+a6+…+a2n) =(1+5+9+…+4n-3)+(2+8+14+…+6n-4) =+ =5n2-2n. 方法二　a2n-1+a2n=2(2n-1)-1+3·2n-4=10n-7， 所以{a2n-1+a2n}是以a1+a2=3为首项，10为公差的等差数列. 所以S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n) ==5n2-2n. [规律方法]　(1)分组求和法常见题型 ①若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和. ②若数列{cn}的通项公式为cn= 其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和. (2)并项求和法常见题型 ①数列{an}的通项公式为an=(-1)nf(n)，求数列{an}的前n项和. ②数列{an}是周期数列或ak+(k∈N*)为等差或等比数列，求数列{an}的前n项和. 跟踪演练1　(2025·广州模拟)已知公差不为0的等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，且a1，2a2，4a4成等比数列，4b2，2b3，b4成等差数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)令cn=，去掉数列{cn}中的第3k项(k∈N*)，余下的项顺序不变，构成新数列，写出数列的前4项并求的前2n项和S2n. 解　(1)设等差数列的公差为d(d≠0)，等比数列的公比为q，由题意得， 又a1=b1=1，d≠0，解得 所以an=1+n-1=n，bn=1×2n-1=2n-1. (2)由(1)得cn==3n， 去掉第3k项后，前4项依次为3，9，81，243， S2n=t1+t2+t3 ... ...