专题突破　专题二　第3讲　数列的综合应用 学案

第3讲　数列的综合应用 1.(2023·全国乙卷理，T10)已知等差数列{an}的公差为，集合S={cos an|n∈N*}，若S={a，b}，则ab等于(　　) A.-1 B.- C.0 D. 2.(2024·北京，T14)汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65 mm，325 mm，325 mm，且斛量器的高为230 mm，则斗量器的高为　　　　mm，升量器的高为　　　　mm.(不计量器的厚度) 3.(2025·全国Ⅰ卷，T16)已知数列{an}中，a1=3，=+. (1)证明：数列{nan}为等差数列； (2)给定正整数m，设函数f(x)=a1x+a2x2+…+amxm，求f'(-2). 命题热度： 本讲是历年高考命题常考的内容，属于中高档题目，三种题型都有所考查，分值约为5~10分. 考查方向： 一是数列的实际应用，主要考查等差数列、等比数列的定义及运算；二是数列与其他知识的结合，主要考查数列与不等式、函数导数、解析几何、概率统计等结合，特别是与概率统计相结合，考查概率统计中的递推关系. 1.答案　B 解析　方法一　由题意得an=a1+(n-1)， cos an+3=cos =cos =cos =cos =cos an， 所以数列{cos an}是以3为周期的周期数列， 又cos a2=cos =-cos a1-sin a1， cos a3=cos =-cos a1+sin a1， 因为集合S中只有两个元素， 所以有三种情况：cos a1=cos a2≠cos a3， cos a1=cos a3≠cos a2， cos a2=cos a3≠cos a1. 下面逐一讨论： ①当cos a1=cos a2≠cos a3时， 有cos a1=-cos a1-sin a1， 得tan a1=-， 所以ab=cos a1 =-cos2a1+sin a1cos a1 = = ==-. ②当cos a1=cos a3≠cos a2时， 有cos a1=-cos a1+sin a1， 得tan a1=， 所以ab=cos a1 =-cos2a1-sin a1cos a1 = = ==-. ③当cos a2=cos a3≠cos a1时， 有-cos a1-sin a1=-cos a1+sin a1， 得sin a1=0， 所以ab=cos a1 =-cos2a1=-(1-sin2a1)=-. 综上，ab=-. 方法二　取a1=-，则cos a1=， cos a2=cos=， cos a3=cos=-1， 所以S=，ab=-. 2.答案　23　57.5 解析　设升、斗量器的高分别为h1 mm，h2 mm， 升、斗、斛量器的容积分别为V1 mm3，V2 mm3，V3 mm3，因为升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，所以V3=10V2， 即π××230=10×π××h2， 解得h2=23. 又V2=10V1， 即π××23=10×π××h1， 所以h1=57.5，所以升、斗量器的高分别为57.5 mm，23 mm. 3.(1)证明　在数列{an}中，a1=3，=+，n∈N*， ∴(n+1)an+1=nan+1，即(n+1)an+1-nan=1，又当n=1时，1×a1=3， ∴数列{nan}是以3为首项，1为公差的等差数列. (2)解　由(1)可知，nan=3+(n-1)×1=n+2， 由题意得f'(x)=a1+2a2x+3a3x2+…+mamxm-1 =3+4x+5x2+…+(m+2)xm-1， ① 又xf'(x)=3x+4x2+5x3+…+(m+1)xm-1+(m+2)xm， ② ①-②得(1-x)f'(x)=3+x+x2+…+xm-1-(m+2)xm， 令x=-2，得3f'(-2)=3+(-2)+(-2)2+…+(-2)m-1-(m+2)(-2)m=3+-(m+2)(-2)m=-(-2)m， 故f'(-2)=-(-2)m. 　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　数列在实际问题中的应用 例1　(1)(2025·昆明模拟)天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2025年是乙巳年，请问：在100年后的2125年为(　　) A.癸未年 B.辛丑年 C.乙酉年 D.戊戌年 答案　C 解析　天干是以10为公 ... ...