第1讲 不等式 1.(2025·全国Ⅱ卷，T4)不等式≥2的解集是( ) A.{x|-2≤x≤1} B.{x|x≤-2} C.{x|-2≤x<1} D.{x|x>1} 2.(2025·北京，T6)已知a>0，b>0，则( ) A.a2+b2>2ab B.+≥ C.a+b> D.+≤ 3.(2021·新高考全国Ⅰ卷，T5)已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( ) A.13 B.12 C.9 D.6 4.(2021·全国乙卷，文T8)下列函数中最小值为4的是( ) A.y=x2+2x+4 B.y=|sin x|+ C.y=2x+22-x D.y=ln x+ 5.(多选)(2020·新高考全国Ⅰ卷，T11)已知a>0，b>0，且a+b=1，则( ) A.a2+b2≥ B.2a-b> C.log2a+log2b≥-2 D.+≤ 6.(多选)(2022·新高考全国Ⅱ卷，T12)若x，y满足x2+y2-xy=1，则( ) A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 命题热度： 本讲是历年高考命题常考的内容，特别是基本不等式经常和函数、数列、三角函数、解析几何等相结合考查，高中低档题目都有考查，主要以选择题或填空题的形式进行考查，分值约为5~6分. 考查方向： 一是不等式的解法，主要是结合集合考查一元二次、分式、绝对值不等式的解法；二是三个一元二次之间的关系，不等式恒成立的问题；三是基本不等式，主要考查利用基本不等式求最值，以及基本不等式的应用. 1.答案 C 解析 ≥2即为≤0，即故-2≤x<1， 故不等式的解集为{x|-2≤x<1}. 2.答案 C 解析 对于A，当a=b时，a2+b2=2ab，故A错误； 对于B，D，取a=，b=，此时+=2+4=6<=8=， +=2+4=6>=4=，故B，D错误； 对于C，由基本不等式可得a+b≥2>，故C正确. 3.答案 C 解析 由椭圆C：+=1，得|MF1|+|MF2|=2×3=6，则|MF1|·|MF2|≤=32=9，当且仅当|MF1|=|MF2|=3时等号成立. 4.答案 C 解析 选项A，因为y=x2+2x+4=(x+1)2+3，所以当x=-1时，y取得最小值，且ymin=3，所以选项A不符合题意. 选项B，因为y=|sin x|+≥2=4，所以y≥4， 当且仅当|sin x|=，即|sin x|=2时不等式取等号，但是|sin x|=2不可能成立，因此可知y>4，所以选项B不符合题意. (或设|sin x|=t，则t∈(0，1]，根据函数y=t+在(0，1]上单调递减可得ymin=1+=5，所以选项B不符合题意.) 选项C，因为y=2x+22-x≥2=4，当且仅当2x=22-x，即x=2-x，即x=1时不等式取等号，所以ymin=4，所以选项C符合题意. 选项D，当0
0，b>0，a+b=1， 所以a+b≥2， 当且仅当a=b=时，等号成立，即有ab≤. 对于A，a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×=，故A正确； 对于B，2a-b=22a-1=×22a， 因为a>0，所以22a>1，即2a-b>，故B正确； 对于C，log2a+log2b=log2ab≤log2=-2，故C错误； 对于D，由(+)2=a+b+2=1+2≤2，得+≤，故D正确. 6.答案 BC 解析 因为ab≤≤(a，b∈R)， 由x2+y2-xy=1可变形为 (x+y)2-1=3xy≤3， 解得-2≤x+y≤2， 当且仅当x=y=-1时，x+y=-2， 当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以A错误，B正确； 由x2+y2-xy=1可变形为 (x2+y2)-1=xy≤， 解得x2+y2≤2，当且仅当x=y=±1时取等号，所以C正确； 因为x2+y2-xy=1可变形为 +y2=1， 设x-=cos θ，y=sin θ， 所以x=cos θ+sin θ， y=sin θ， 因此x2+y2=cos2θ+sin2θ+sin θcos θ=1+sin 2θ-cos 2θ+ =+sin∈， 所以当x=，y=-时满足等式， 但是x2+y2≥1不成立，所以D错误. 考点一 不等式的解法 例1 (1)设集合A={x||x-a|<1}，B=.若A∩B= ，则实数a的取值范围是( ) A.{a|0≤a≤6} B.{a|4≤a≤6} C.{a|a≤0或a≥6} D.{a|2≤a≤4} 答案 C 解析 由|x-a|<1得，-1
