专题突破　专题六　第2讲　函数的图象与性质 学案

第2讲　函数的图象与性质 1.(2024·全国甲卷，理T7)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x在区间[-2.8，2.8]的图象大致为(　　) 2.(2025·全国Ⅰ卷，T5)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-2x，则f 等于(　　) A.- B.- C. D. 3.(多选)(2022·新高考全国Ⅰ卷，T12)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，记g(x)=f'(x).若f ，g(2+x)均为偶函数，则(　　) A.f(0)=0 B.g=0 C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2) 4.(2023·全国甲卷文，T14)若f(x)=(x-1)2+ax+sin为偶函数，则a=　　　　. 命题热度： 本讲是历年高考命题必考的内容，高中低档题目都有考查，主要以选择题或填空题的形式进行考查，分值约为10~12分. 考查方向：一是函数的性质，主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及其性质的综合应用；二是基本初等函数，主要考查幂指对函数的图象与性质；三是函数的图象，主要考查画图、识图以及图象的应用. 1.答案　B 解析　f(-x)=-x2+(e-x-ex)sin(-x) =-x2+(ex-e-x)sin x=f(x)， 又函数f(x)的定义域为[-2.8，2.8]， 故该函数为偶函数，可排除A，C， 又f(1)=-1+sin 1>-1+sin=-1->->0， 故可排除D. 2.答案　A 解析　由题意知f(x)=f(-x)，f(x+2)=f(x)对一切x∈R成立， 于是f =f =f =5-2×=-. 3.答案　BC 解析　方法一　(转化法)因为f ，g(2+x)均为偶函数， 所以f =f ， 即f =f ， g(2+x)=g(2-x)， 所以f(3-x)=f(x)，g(4-x)=g(x)， 则f(-1)=f(4)，故C正确； 函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x=，x=2对称， 又g(x)=f'(x)，且函数f(x)可导， 所以g=0，g(3-x)=-g(x)， 所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x)， 所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x)， 所以g=g=0， g(-1)=g(1)=-g(2)，故B正确，D错误； 若函数f(x)满足题设条件， 则函数f(x)+C(C为常数)也满足题设条件， 所以无法确定f(0)的函数值，故A错误. 方法二　(特例法)因为f ，g(2+x)均为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x=对称，函数g(x)的图象关于直线x=2对称.取符合题意的一个函数f(x)=1(x∈R)，则f(0)=1，排除A； 取符合题意的一个函数f(x)=sin πx，则f'(x)=πcos πx，即g(x)=πcos πx，所以g(-1)=πcos(-π)=-π，g(2)=πcos 2π=π，所以g(-1)≠g(2)，排除D.故选BC. 4.答案　2 解析　∵f(x)=(x-1)2+ax+sin =(x-1)2+ax+cos x=x2+(a-2)x+1+cos x， 且函数为偶函数， ∴a-2=0，解得a=2. 经验证，当a=2时满足题意. 考点一　函数的性质 例1　(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A.(-∞，0] B.[-1，0] C.[-1，1] D.[0，+∞) 答案　B 解析　因为f(x)在R上单调递增， 且x≥0时，f(x)=ex+ln(x+1)单调递增， 则需满足 解得-1≤a≤0， 即a的取值范围是[-1，0]. (2)(多选)(2025·银川模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f ，f(-1)=1，f(0)=-2，且f 为奇函数，则(　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)是周期为3的周期函数 D.f(0)+f(1)+…+f(30)=-2 答案　BCD 解析　对于A，因为f(x)是定义在R上的函数，且f(0)=-2，所以f(x)不是奇函数，故A错误； 对于B，因为f 为奇函数，所以f =-f ， 由f(x)=-f 可得， f =-f =-f ， 所以-f =-f ， 即f =f ， 所以f(-x)=f(x)，即f(x)是偶函数，故B正确； 对于C，由f(x)=-f 可得，f(x+3)=-f =f(x)，所以f(x)是周期为3的周期函数，故C正确； 对于D，f(2)=f(-2)=f(1)=f(-1)=1， 所以f(0)+f(1)+f(2)=0，由周期性可得， f(0)+f(1)+…+f(30)=10[f(0)+f(1)+f(2)]+f(0)=-2，故D正确. [规律方法]　(1)函数的奇偶性的判断方法有定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)；函数单调性的判断方法有定义法、图象法、导数法、性质法(在共同的单调区间内，增函数+增函数为增函数等)；函数的单调性和奇偶 ... ...