专题突破　专题六　第3讲　导数与单调性、极值和最值 学案

第3讲　导数与单调性、极值和最值 1.(2023·新课标Ⅱ卷，T6)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为(　　) A.e2 B.e C.e-1 D.e-2 2.(2022·全国乙卷，文T11)函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为(　　) A.-， B.-， C.-，+2 D.-，+2 3.(多选)(2025·全国Ⅱ卷，T10)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=(x2-3)ex+2，则(　　) A.f(0)=0 B.当x<0时，f(x)=-(x2-3)e-x-2 C.f(x)≥2当且仅当x≥ D.x=-1是f(x)的极大值点 4.(2024·新课标Ⅱ卷，T16)已知函数f(x)=ex-ax-a3. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. 命题热度： 本讲是历年高考命题必考的内容，属于中高档题目，具有一定的难度，三种题型都有所考查，分值约为11~26分. 考查方向： 考查重点一是判断函数的单调性以及单调性应用，如求参数范围、比较大小、解不等式等，二是函数极值，主要是求函数的极值，由极值求参数的值、范围等，三是函数的最值以及最值的应用. 1.答案　C 解析　依题可知，f'(x)=aex-≥0在(1，2)上恒成立，显然a>0， 所以xex≥在(1，2)上恒成立， 设g(x)=xex，x∈(1，2)， 所以g'(x)=(x+1)ex>0， 所以g(x)在(1，2)上单调递增， g(x)>g(1)=e，故e≥， 即a≥=e-1，即a的最小值为e-1. 2.答案　D 解析　f(x)=cos x+(x+1)sin x+1，x∈[0，2π]，则f'(x)=-sin x+sin x+(x+1)·cos x=(x+1)cos x，x∈[0，2π]. 令f'(x)=0，解得x=-1(舍去)，x=或x=. 因为f =cos +sin +1 =2+， f =cos +sin +1=-， 又f(0)=cos 0+(0+1)sin 0+1=2， f(2π)=cos 2π+(2π+1)sin 2π+1=2， 所以f(x)max=f =2+， f(x)min=f =-.故选D. 3.答案　ABD 解析　对于A，因为f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0，故A正确； 对于B，当x<0时，-x>0，则f(x)=-f(-x)=-{[(-x)2-3]e-x+2}=-(x2-3)e-x-2，故B正确； 对于C，f(-1)=-(1-3)e-2=2(e-1)>2，故C错误； 对于D，当x<0时，f(x)=(3-x2)e-x-2，则f'(x)=-(3-x2)e-x-2xe-x=(x2-2x-3)e-x， 令f'(x)=0，解得x=-1或x=3(舍去)， 当x∈(-∞，-1)时，f'(x)>0，此时f(x)单调递增， 当x∈(-1，0)时，f'(x)<0，此时f(x)单调递减， 则x=-1是f(x)的极大值点，故D正确. 4.解　(1)当a=1时，则f(x)=ex-x-1， f'(x)=ex-1， 可得f(1)=e-2，f'(1)=e-1， 即切点坐标为(1，e-2)， 切线斜率k=e-1， 所以切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1)， 即(e-1)x-y-1=0. (2)方法一　因为f(x)的定义域为R， 且f'(x)=ex-a， 若a≤0，则f'(x)>0对任意x∈R恒成立， 可知f(x)在R上单调递增， 无极值，不符合题意； 若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a， 令f'(x)<0，解得x0， 令g(a)=a2+ln a-1，a>0， 则g'(a)=2a+>0， 可知g(a)在(0，+∞)上单调递增， 且g(1)=0， 不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)， 解得a>1， 所以a的取值范围为(1，+∞). 方法二　因为f(x)的定义域为R， 且f'(x)=ex-a， 若f(x)有极小值， 则f'(x)=ex-a有零点， 令f'(x)=ex-a=0，可得ex=a， 可知y=ex与y=a有交点，则a>0， 令f'(x)>0，解得x>ln a； 令f'(x)<0，解得x0， 令g(a)=a2+ln a-1，a>0， 因为y=a2，y=ln a-1在(0，+∞)上均单调递增， 所以g(a)在(0，+∞)上单调递增， 且g(1)=0， 不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)， 解得a>1， 所以a的取 ... ...