专题突破　专题六　第4讲　恒成立与能成立问题 学案

第4讲　恒成立与能成立问题 1.(2021·天津，T20)已知a>0，函数f(x)=ax-xex. (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)证明f(x)存在唯一的极值点； (3)若存在a，使得f(x)≤a+b对任意x∈R成立，求实数b的取值范围. 2.(2023·全国甲卷，文T20)已知函数f(x)=ax-，x∈. (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)+sin x<0，求a的取值范围. 命题热度： 本讲是历年高考命题常考的内容，属于中高档题目，具有一定的难度，三种题型都有所考查，分值约为5~10分. 考查方向： 考查重点一是不等式恒成立求参数的取值范围；二是不等式能成立求参数的取值范围，包含双变量的恒成立、能成立求参数的取值范围. 1.(1)解　f'(x)=a-(x+1)ex，则 f'(0)=a-1， 又f(0)=0，则切线方程为y=(a-1)x，a>0. (2)证明　令f'(x)=a-(x+1)ex=0，则a=(x+1)ex， 令g(x)=(x+1)ex，则g'(x)=(x+2)ex， 当x∈(-∞，-2)时，g'(x)<0，g(x)单调递减； 当x∈(-2，+∞)时，g'(x)>0，g(x)单调递增， 当x→-∞时，g(x)<0，g(-1)=0；当x→+∞时，g(x)>0，画出g(x)大致图象如图所示， 所以当a>0时，y=a与y=g(x)仅有一个交点， 令g(m)=a，则m>-1，且f'(m)=a-g(m)=0， 当x∈(-∞，m)时，a>g(x)，则f'(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(m，+∞)时，a-1， 所以{f(x)-a}max=f(m)-a=(m2-m-1)em，m>-1， 令h(x)=(x2-x-1)ex，x>-1， 若存在a，使得f(x)≤a+b对任意x∈R成立，等价于存在x∈(-1，+∞)，使得h(x)≤b，即b≥h(x)min， h'(x)=(x2+x-2)ex=(x-1)(x+2)ex，x>-1， 当x∈(-1，1)时，h'(x)<0，h(x)单调递减； 当x∈(1，+∞)时，h'(x)>0，h(x)单调递增， 所以h(x)min=h(1)=-e，故b≥-e， 所以实数b的取值范围为[-e，+∞). 2.解　(1)因为a=1， 所以f(x)=x-，x∈， 则f'(x)=1- =1- = =， 令t=cos x， 由于x∈， 所以t=cos x∈(0，1)， 所以cos3x+cos2x-2=t3+t2-2 =t3-t2+2t2-2=t2(t-1)+2(t+1)(t-1) =(t2+2t+2)(t-1)， 因为t2+2t+2=(t+1)2+1>0，t-1<0，cos3x=t3>0， 所以f'(x)=<0在上恒成立， 所以f(x)在上单调递减. (2)因为sin x- = = =-， 因为x∈， 所以00时，因为f(x)+sin x=ax-+sin x=ax-， 令g(x)=ax-，x∈， 则g'(x)=a-， 注意到g'(0)=a-=a>0， 则当x→0+时，g'(x)→a>0， 所以在上必存在点x0， 使得g'(x)在(0，x0)上有g'(x)>0， 所以g(x)在(0，x0)上单调递增， 则在(0，x0)上有g(x)>g(0)=0， 即f(x)+sin x>0，不满足题意. 综上所述，若f(x)+sin x<0， 则a的取值范围为(-∞，0]. 考点一　利用导数研究恒成立问题 例1　(2025·石家庄模拟)已知函数f(x)=ex-ax-3(a∈R). (1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在(0，f(0))处的切线方程； (2)当x≥0时，若不等式f(x)≥-2恒成立，求a的取值范围. 解　(1)由题设f(x)=ex+x-3，则f'(x)=ex+1，且f(0)=-2，f'(0)=2， ∴曲线y=f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y+2=2x，即2x-y-2=0. (2)方法一　(直接法) 由题设当x≥0时，ex-ax-3≥-2恒成立， 即ex--ax-1≥0恒成立， 令g(x)=ex--ax-1且x≥0，则g'(x)=ex-x-a， 令h(x)=g'(x)，x≥0，则h'(x)=ex-1≥0， ∴h(x)=g'(x)在[0，+∞)上单调递增， ∴g'(x)≥g'(0)=1-a， 当1-a≥0，即a≤1时，g'(x)≥0， 则g(x)在[0，+∞)上单调递增，g(x)≥g(0)=0，符合题意； 当1-a<0，即a>1时，g'(0)<0，而当x→+∞时，g'(x)→+∞， ∴ x0∈(0，+∞)，使g'(x0)=0，即在[0，x0)上，g'(x)<0，在(x0，+∞)上，g'(x)>0 ... ...