2025 年秋季学期高二年级数学第三次月考 (试卷满分 150 分, 考试用时 120 分钟) 注意事项: 1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.回答非选择题时, 将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合 ,则 ( ) A. B. C. D. 2. 已知 是椭圆 上的一点， 分别是椭圆 的左，右焦点，则 ( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 3. 在 中， ， ， ，则 () A. B. C. 120° D. 4. 如图,在棱长为 2 的正方体 中，点 、 分别是棱 的中点，则点 到平面 的距离等于( ) A. B. C. D. 5. 已知双曲线的下、上焦点分别为 是双曲线上一点且 ，则双曲线的标准方程为( ) A. B. C. D. 6. 已知双曲线 ,则下列选项中不正确的是 ( ) A. 的焦点坐标为 B. 的顶点坐标为 C. 的离心率为 D. 的虚轴长为 7. 已知 ,则 的大小关系是( ) A. B. C. D. 8. 如图,在长方体 中, 是线段 中点,若 , 则 ( ) A. B. 1 C. D. 3 二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分) 9. 已知复数 ,则下列结论中正确的是( ) A. 对应的点位于第二象限 B. 的虚部为 -2 C. D. 10. 已知函数 的部分图象如图所示,下列说法正确的是( ) A. 函数 的最小正周期为 B. 函数 的图象关于直线 对称 C. 函数 在 单调递减 D. 该图象向右平移 个单位可得 的图象 11. 已知直线 和圆 ，则()) A. 直线 恒过定点 B. 存在 使得直线 与直线 垂直 C. 直线 与圆 相交 D. 直线 被圆 截得的最短弦长为 三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分 12. 已知平面向量 的夹角为 ，则 _____. 13. 已知倾斜角为 的直线 经过抛物线 的焦点 ,且与抛物线交于 两点,则线段 的长为_____. 14. 已知数列 满足 ，则 _____. 四. 解答题 (本大题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演 算步骤) 15. 为等差数列 的前 项和,已知 . (1)求数列 的通项公式； (2)求 ，并求 的最小值. 16. 某地区对初中 500 名学生某次数学成绩进行分析, 将得分分成 8 组(满分 150 分): 整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)求第七组的频率; (2)用样本数据估计该地的 500 名学生这次考试成绩的平均分 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (3)现从 500 名学生中利用分层抽样的方法从 [95,105),[105,115) 的两组中抽取 5 个人进一步做调查问卷, 再从这 5 个人中随机抽取两人, 求抽取到的两人不在同一组的概率. 17. 如图,在四棱锥 中,底面 为正方形、 平面 分别为棱 的中点 (1)证明: 平面 ； (2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值 18. 在 中，角 的对边分别为 ，且 . (1)求 的大小； (2)若 ，求 的面积. 19. 已知椭圆 ，由 的上、下顶点，左、右焦点构成一个边长为 的正方形. (1)求 的方程； (2)直线 过 的右焦点 ，且和 交于点 ， ，设 是坐标原点，若三角形 的面积是 ,求 的方程. 1. D ,故 , 故选: D. 2. A 椭圆 ,则 ,又 是椭圆 上的一点, 所以 . 故选: A 3. A 由题意得 , 又 ,所以 . 故选: A 4. D 以 为坐标原点,分别以 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系,则 . 设平面 的法向量为 , 则 ,即 令 ,得 . 又 ， 点 到平面 的距离 , 故选: . 5. C 因为双曲线的下、上焦点分别为 , 所以设双曲线的方程为 ,半焦距为 ; 又因为 是双曲线上一点且 , 所以 ,即 ,则 ; 所以双曲线的标准方程为 . 故 ... ...
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