数 学 (试卷满分: 150 分, 考试时间: 120 分钟) 注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号；回答非选择题时,用 的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 3. 考试结束后, 请将答题卡上交。 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系 中, 关于 轴的对称点为 ,则 的坐标为 A.(1, - 2, - 3) B.(1,2,3) C.(1,3, - 2) D.(-1,2,3) 2. 直线 与直线 垂直,则 A. B. 1 C. 0 D.-2 3. 已知数列 满足 ,则 A. -1 B. C. 2 D. 4. 如图,在三棱锥 中, 为 中点, 为 中点,则 A. B. C. D. 5. 已知双曲线 的一条渐近线为 ,则该双曲线的方程是 A. 或 B. 或 C. D. 6. 已知抛物线 ,过其焦点 作直线 交抛物线 于 两点,点 在第一象限, 且满足 ,则直线 的方程为 A. B. C. D. 7. 已知数列 满足 ,记 的前 项的和为 ,则 A. B. C. D. 8. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,椭圆 上存在一点 使 ,且 为锐角三角形,则椭圆 的离心率的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目 要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 下列说法中, 正确的有 A. 直线 的倾斜角为 B. 直线 ,直线 ,则 和 之间的距离为 C. 直线 与坐标轴围成的三角形的面积为 3 D. 直线 恒过的定点在圆 上 10. 已知圆 ,下列说法正确的是 A. 是外离的关系 B. 是圆 上的动点, 是圆 上的动点,则 C. 已知圆 与 均有交点,则 的面积的最小值是 D. 是 的公切线 11. 已知点列 在函数 上,点列 在 轴上,如图所示,以 为边长作正方形,依次向右排列,即 ,已知 ,数列 的前 项的和为 ,则 A. B. C. D. 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分. 12. 双曲线 的右顶点与抛物线 的焦点重合,则 _____. 13. 河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一, 现为世界文化遗产, 龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟. 现有一石窟的某处 “浮雕像” 共 层,每上层的 “浮雕像” 数量比下层少的个数是定值,记最上层浮雕个数为 ,依次往下每层的浮雕个数组成数列 ,其前 项的和为 ,若 ,则 _____. 14. 如图所示,已知一正四面体 在平面 内,点 均在 同侧, 三点到平面 的距离分别是3,3,4,则正四面体的边长是_____. 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分 13 分) 已知正项递增数列 为等比数列,满足 ,数列 满足 (1) 求 的通项公式; (2) 数列 满足 ,求 的前 项的和 . 16. (本小题满分 15 分) 如图,已知正四棱台 ,四棱台的高为 2 . (1) 证明: 平面 ; (2)求平面 与平面 夹角的正弦值. 17. (本小题满分 15 分) 古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点的距离之比为定值 的点的轨迹是圆,后来人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆. 已知在平面直角坐标系 中, ,若点 满足 ,记 的轨迹为圆 . (1)求圆 的方程； (2)已知动点 ,过 作圆 的两条切线(两条切线的斜率都存在),分别交 轴于 两点,求 的面积的最小值. 18.(本小题满分 17 分) 已知椭圆 ,其中焦距与短轴长相等,左、右顶点分别为 ,动直线 与 相交于 两点,直线 的交点为 的轨迹记作 ,当 经过 的右焦点时, . (1)求 的方程； (2)过 点分别作两条直线 ,直线 交 于 两点(异于点 ),直线 交 于 两点 (异于点 ),证明: 直线 与直线 的交点在一定直线上. 19.(本小题满分 17 分) 已知数列 满足 ,对于 , ... ...
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