【苏教版必修五课时训练】3.4.2基本不等式的证明

3.4.1 基本不等式的证明 一、填空题 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为 2．函数y＝loga(x＋3)－1 (a>0，a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为_____． 3．设x、y是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy的最大值是_____. 4．若a,b均为大于1的正数，且ab＝100，则lga·lgb的最大值是 5．在三个结论：①，② ③，其中正确的是　　 　 　　 6．已知a、b为不等的正数，且，试将四个数按从小到大 的顺序排列 。 二、解答题 7．求下列函数的最小值． (1)设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值； (2)设x>－1，求y＝的最小值． 8.9已知正数a，b满足ab＝a＋b＋3.求a＋b的最小值． 9．已知，求证：≥． 10．设a>0, b>0，且a + b = 1，求证：． 答案 1答案　4 解析　∵点P(x，y)在直线AB上，∴x＋2y＝3.∴2x＋4y≥2＝2＝4. 2答案　8 解析　∵A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0， 即2m＋n＝1，mn>0，∴m>0，n>0. ＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2·＝8. 当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立． 故＋的最小值为8. 3答案：2-4lg2。解析：∵x>0,y>0,5=x+y≥2,∴xy≤()2. 当且仅当x=y=时等号成立. 故lgx+lgy=lgxy≤lg()2=2-4lg2. 4答案： 1.解析：。 5答案：1,2,3。解析：可以证明3个不等式都成立。 6答案： （1）当时，，得，且， 此时 （2）当时，，得，且， 此时 （3）当时，与题设矛盾 7解　(1)2x＋y＝＝(2x＋y) ＝≥(2＋4)＝. 当且仅当＝时取“＝”，即y2＝4x2，∴y＝2x. 又∵＋＝3，求出x＝，y＝.∴2x＋y的最小值为. (2)∵x>－1，∴x＋1>0，设x＋1＝t>0，则x＝t－1， 于是有y＝＝＝t＋＋5≥2＋5＝9， 当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1. ∴当x＝1时，函数y＝取得最小值为9. 8解　方法一　∵a＋b＋3＝ab≤，设a＋b＝t，t>0，则t2≥4t＋12. 解得：t≥6 (t≤－2舍去)，∴(a＋b)min＝6. 方法二　∵ab＝a＋b＋3，∴b＝>0，∴a>1. ∴a＋b＝a＋＝a＋＋1＝(a－1)＋＋2≥2＋2＝6. 当且仅当a－1＝，即a＝3时，取等号． 9答案:∵，∴≥， 两边同加上得，≥． 又≥，两边同加上得，≥≥， ∴≥． 10答案：∵ ∴ ∴ ∴