1.2.3 导数的计算综合问题 同步练习1（含答案）

1.2.3 导数的计算综合问题 同步练习 一、选择题 1．函数y＝cosnx的复合过程正确的是(　　) A．y＝un，u＝cos xn　　 　 B．y＝t，t＝cosnx C．y＝tn，t＝cos x D．y＝cos t，t＝xn 答案：C　 2．y＝loga(2x2－1)的导数是(　　) A. B. C. D. 答案：A 3．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是(　　) A.∪ B．[0，π) C. D.∪ 解析：因为(sin x)′＝cos x，所以k1＝ cos x，所以－1≤k1≤1，所以倾斜角的范围是∪.故选A. 答案：A 4．设f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为(　　) A．(0，＋∞) B．(－1，0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D． (－1，0) 解析：f(x)定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝2x－2－＝>0. 解得－12.所以f′(x)>0的解集为(2，＋∞)． 答案：C 5．已知函数f(x)＝－x3＋2ax2＋3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5，则在函数f(x)图象上的点(1，f(1))处的切线方程是(　　) A．3x－15y＋4＝0　 B．15x－3y－2＝0 C．15x－3y＋2＝0　 D．3x－y＋1＝0 解析：f′(x)＝－2x2＋4ax＋3，因为f′(x)的最大值为5，所以＝5，解得a＝1(舍去a＝－1)，所以f(x)＝－x3＋2x2＋3x，f(1)＝，f′(1)＝5，所以切线方程为y－＝5(x－1)，即15x－3y－2＝0.故选B. 答案：B 二、填空题 6．f(x)＝xsin x－cos x，f′(π)＝_____. 答案：－π 7．y＝2xln x在x＝2处的导数为_____． 答案：2＋4ln22 8．设函数f(x)＝ex＋g(x)，若曲线y＝g(x)在点P(0，g(0))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点Q(0，f(0))处的切线方程为_____． 解析：g′(0)＝2，g(0)＝1，所以f′(0)＝3，f(0)＝2，所以曲线y＝f(x)在点Q(0，f(0))处的切线方程为y－2＝3x，即3x－y＋2＝0. 答案：3x－y＋2＝0 三、解答题 9．已知曲线y＝e2x·cos 3x在点(0，1)处的切线与直线C的距离为，求直线C的方程． 解析：因为y′＝(e2x)′cos 3x＋e2x·(cos 3x)′＝2e2x·cos 3x－3e2x·sin 3x，所以y′|x＝0＝2，所以在点(0，1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1. 设适合题意的直线方程为y＝2x＋b， 根据题意，得＝，解得b＝6或－4. 所以适合题意的直线方程为 y＝2x＋6或y＝2x－4. 10. 设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； 解析：方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.当x＝2时，y＝. 又f′(x)＝a＋，于是 解得 故f(x)＝x－. (2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知：曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为 y－y0＝(x－x0)， 即y－＝(x－x0)． 令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为. 令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0). 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6. ... ...