2.2 综合法与分析法 同步练习 1．分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的( ) A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．必要或充分条件 答案：B 2．若x＞y＞1，0＜a＜1，则下列式子中正确的是( ) A．ax＞ay B．logax＞logay C．xa＜ya D．x－a＜y－a 答案：D 3．设a，b∈R＋，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是( ) A．A≥B B．A≤B C．A>B D．A
0，M＝，N＝a＋b，则M与N的大小关系是_____． 答案：M≥N 8．a，b是正数，求证：≥. 证明：＝ ＝1－≥1－＝1－＝， 当且仅当a＝b时取“＝”． 9．若a，b，c是不全相等的正数，求证： lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c. 证明：证法一(综合法) ∵a，b，c∈R＋， ∴≥＞0，≥＞0，≥＞0，且上述三个不等式中等号不能同时成立， ∴··＞abc. ∴lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c. 证法二(分析法) lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c lg＞lg abc ··＞abc. 因为≥＞0，≥＞0，≥＞0，且以上三个不等式中等号不能同时成立，所以··＞abc成立，从而原不等式成立． 10．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，求证： (1)ab＋bc＋ca≤； (2)＋＋≥1. 证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤. (2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c. 所以＋＋≥1. 11．(1)设x≥1，y≥1，求证：x＋y＋≤＋＋xy. (2)10，定义函数f(x)＝2|x＋c＋4|－|x＋c|，数列a1，a2，a3…满足an＋1＝f(an)，n∈N . (1)若a1＝－c－2，求a2及a3； (2)求证：对任意n∈N ，an＋1－an≥c. 解析：因为c>0，a1＝－(c＋2)，故 a2＝f(a1)＝2|a1＋c＋4|－|a1＋c|＝2， a3＝f(a1)＝2|a2＋c＋4|－|a2＋c|＝c＋10. (2)要证明原命题，要需证明f(x)≥x＋c对任意x∈R都成立， f(x)≥x＋c 2|x＋c＋4|－|x＋c|≥x＋c， 即只需证明2|x＋c＋4|≥|x＋c|＋x＋c， 若x＋c≤0，显然有 2|x＋c＋4|≥|x＋c|＋x＋c＝0成立； 若x＋c>0，则 2|x＋c＋4|≥|x＋c|＋x＋c x＋c＋4>x＋c显然成立． 综上，f(x)≥x＋c恒成立，即对任意的n∈N ，an＋1－an≥c. 13．设实数数列{an}的前n项和Sn，满足Sn＋1＝an＋1Sn(n∈N )，(利用综合法和分析法)求证：对k≥3有0≤ak≤. 证明：由题设条件有Sn＋an＋1＝an＋1Sn， 故Sn≠1，an＋1≠1且an＋1＝，Sn＝， 从而对k≥3有 ak＝＝＝＝.① 因a－ak－1＋1＝ak－1－2＋>0且a≥0，由①得ak≥0. 要证ak≤，由①只要证≤，即证 ... ... 
