专题13 双曲线 1．双曲线定义 2．双曲线标准方程 3．双曲线的简单几何性质 (1)范围；(2)对称性；(3)顶点；(4)渐近线；(5)离心率． 例1 设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切． (1)求C的圆心轨迹L的方程； (2)已知点M(，)，F(－，0)，且P为L上动点．求|MP|＋|FP|的最小值． 变式1 设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a且△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为_____． 例2 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为( ) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 变式2 双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A. B. C. D. 例3 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是双曲线右支上一点，当取得最小值时，该双曲线离心率的最大值为_____． 变式3 已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是_____． A级 1．已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a等于( ) A．2 B. C. D．1 2．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是( ) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( ) A．－ B．－4 C．4 D. 4．已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P(1,3)，离心率为的双曲线的标准方程为( ) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 5．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为( ) A．2 B．2 C. D．1 6．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是_____． 7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝_____；b＝_____. B级 8．已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( ) A．(－1,3) B．(－1，) C．(0,3) D．(0，) 9．双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是( ) A．m> B．m≥1 C．m>1 D．m>2 10．已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( ) A.B.C. D．2 11．已知椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则实数a＝_____. 12．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点．若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为_____． 13. 如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，求C2的离心率． 详解答案 典型例题 例1 解 (1)两圆的圆心分别为A(－，0)，B(，0)，半径为2，设圆C的半径为r. 由题意得|CA|＝r－2，|CB|＝r＋2或|CA|＝r＋2，|CB|＝r－2， 两式相减得|CA|－|CB|＝－4或|CA|－|CB|＝4，即||CA|－|CB||＝4. 则C的轨迹为双曲线，其中2a＝4，c＝，b2＝1， ∴圆C的圆心轨迹L的方程为－y2＝1. (2)由(1)知F为双曲线L的左焦点，则F′(，0)为右焦点． 若P在L右支上，由于|FP|＝|PF′|＋4， |MP|＋|FP|＝|MP|＋|PF′|＋4≥|MF′|＋4＝6；若P在L左支上，|MP|＋|FP|≥|MF|＝4；所以，|MP|＋|FP|的最小值为4. 变式1 解析 不妨设|PF1|>|PF2|， 则|PF1|－|PF2|＝2a， 又∵|PF1|＋|PF2|＝6a， ∴|PF1|＝4a， |PF2|＝2a. 又在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°， 由正弦定理得，∠PF2F1＝90°， ∴|F1F2|＝2a， ∴双曲线C的离心率e＝＝. 例2 C 变式2 C 例3 3 解析 ＝＝ ＝|PF2|＋≥4a，当且仅当|PF2|＝2a时等号成立．显然，|PF1|≥c＋a， 又|PF1|＝|PF2|＋2a， 则|PF2|≥c－a， 所以2a≥c－a，即3a≥c，故e≤3，即离心率的最大值为3. 变式3 [2，＋∞) 解析 双曲线的渐近线 ... ...
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