3.3 三角函数的积化和差与和差化积

课件21张PPT。3.3 三角函数的积化和差与和差化积 第三章 三角恒等变换明目标 知重点填要点 记疑点探要点 究所然内容 索引010203当堂测 查疑缺 041.了解利用两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积两组公式的过程. 2.理解在推导积化和差、和差化积公式中方程思想、换元思想所起的作用.明目标、知重点填要点·记疑点两角和与差的正、余弦公式是推导积化和差与和差化积公式的基础. sin(α＋β)＝ ； sin(α－β)＝ ； cos(α＋β)＝ ； cos(α－β)＝ .sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β cos αcos β－sin αsin β cos αcos β＋sin αsin β探要点·究所然情境导学积化和差与和差化积是一对孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用.一般情况下，遇有正弦、余弦函数的平方，要先考虑灵活应用二倍角公式的变形进行降幂，然后应用和差化积、积化和差公式进行化简或计算.和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值.正因为如此，“和、积互化”是三角恒等变换的一种基本手段.在解题过程中，当遇到三角函数的和时，就试着化为积的形式；当遇到三角函数的积时，就试着化为和差的形式.往往这样就能发现解决三角函数问题的思路.探究点一　由两角和与差的正、余弦公式推导积化和差公式 思考　根据两角和与差的正、余弦公式把下列等式补充完整： ①sin(α＋β)＋sin(α－β)＝ ； ②sin(α＋β)－sin(α－β)＝ ； ③cos(α＋β)＋cos(α－β)＝ ； ④cos(α＋β)－cos(α－β)＝ .2sin αcos β 2cos αsin β 2cos αcos β －2sin αsin βsin αcos β＝ ； cos αsin β＝ ； cos αcos β＝ ； sin αsin β＝ .请你利用这组公式计算下列式子的值： ①sin 37.5°cos 7.5°＝ . ②sin 15°sin 75°＝ .例1　利用积化和差化简求值： sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. 解　sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°反思与感悟　在运用积化和差求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系.探究点二　由两角和与差的正、余弦公式推导和差化积公式sin θ＋sin φ＝ ；sin θ－sin φ＝ ； cos θ＋cos φ＝ ；cos θ－cos φ＝ .请你利用这组公式计算下列式子的值. cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°.例2　把cos 3θ＋cos θ化成积的形式.反思与感悟　套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来.证明　因为A＋B＋C＝180°，因此sin A＋sin B＋sin C当堂测·查疑缺 12341.下列等式错误的是(　　) A.sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sin Acos B B.sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cos Asin B C.cos(A＋B)＋cos(A－B)＝2cos Acos B D.cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sin Asin B 解析　由两角和与差的正弦、余弦公式展开左边可知A、B、C正确.D12342.sin 15°cos 165°的值是(　　)C12343.sin 105°＋sin 15°等于(　　)C12344.在△ABC中，若B＝30°，求cos Asin C的取值范围.∵－1≤sin(A－C)≤1，呈重点、现规律1.学习三角恒等变换， 千万不要只顾死记公式而忽视对思想方法的体会.只要对思想方法有所感悟，公式不必记很多，记住cos(α－β)即可. 2.和差化积、积化和差公式不要求记忆，但要注意公式推导中应用的数学思想方法，同时注意这些公式与两角和与差公式的联系. ... ...