四川省绵阳市2017届高三第三次诊断性考试数学（文）试题 扫描版含答案

绵阳市高2014级第三次诊断性考试 数学(文史类)参考解答及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． ADABD ACBCB CB 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．2 14．4 15．2n+1 16．4 三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．解 ：（Ⅰ）把(a+c)2=b2+3ac整理得，a2+c2-b2=ac， 由余弦定理有cosB=， ∴ B=． ………………………………………………………………………4分 (Ⅱ)△ABC中，A+B+C=π，即B=π-(A+C)，故sinB=sin(A+C)， 由已知sinB+sin(C-A)=2sin2A可得sin(A+C)+sin(C-A)=2sin2A， ∴ sinAcosC+cosAsinC+sinCcosA-cosCsinA=4sinAcosA， 整理得cosAsinC=2sinAcosA． ………………………………………………7分 若cosA=0，则A=， 于是由b=2，可得c=， 此时△ABC的面积为S==．………………………………………9分 若cosA≠0，则sinC=2sinA， 由正弦定理可知，c=2a， 代入a2+c2-b2=ac整理可得3a2=4，解得a=，进而c=， 此时△ABC的面积为S==． ∴ 综上所述，△ABC的面积为． ……………………………………12分 18．解：（Ⅰ）补全的列联表如下： 年轻人 非年轻人 合计 经常使用共享单车 100 20 120 不常使用共享单车 60 20 80 合计 160 40 200 …………………………………4分 (Ⅱ)于是a=100，b=20，c=60，d=20， ……………………………………6分 ∴ K2=>2.072， 即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关． ………………12分19．（Ⅰ）证明：菱形ABCD中，AD =CD，∠ADC=，则△ADC是等边三角形， 又N是线段AD的中点， ∴ CN⊥AD． …………………………………………………………………2分 又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD， 所以CN⊥平面ADEF． 又∵ AF平面ADEF， 故CN⊥AF． …………………………………………………………………6分 (Ⅱ) 解：作FE的中点P，连接CP交BE于点M，M点即为所求的点． ………………………………………………………8分 证明：连接PN， ∵ N是AD的中点，P是FE的中点， ∴ PN//AF， 又PN平面MNC，AF平面MNC， ∴ 直线AF平面MNC． ………………11分 ∵ PE//AD，AD//BC， ∴ PE//BC， ∴ ．……………………………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）由题意知，|AB|+|AE|+|BE|=|AF|+|BF|+|AE|+|BE|=4a=12， 解得a=3， 又，故， ∴ 椭圆C的方程为：． ……………………………………4分 (Ⅱ)由题知F(2，0)， 若直线AB恰好过原点，则A(-3，0)，B(3，0)，N(0，0)， ∴ =(-3，0)，=(5，0)，则m=， =(3，0)，=(-1，0)，则n=-3， ∴ m+n=． ………………………………………………………………2分 若直线AB不过原点，设直线AB：x=ty+2，t≠0， A(ty1+2，y1)，B(ty2+2，y2)，N(0，-)． 则=(ty1+2，y1+)，=(-ty1，-y1)， =(ty2+2，y2+)，=(-ty2，-y2)， 由，得y1+=m(-y1)，从而m=； 由，得y2+=n(-y2)，从而n=； 故m+n=+()=． ……8分 联立方程组得：整理得(5t2+9)y2+20ty-25=0， ∴ y1+y2=，y1y2=， ∴ m+n===-2-=． 综上所述，m+n=．………………………………………………………12分 21． (Ⅰ) 证明：由题知， 于是， 令，则(x>0)， ∴ 在(0，+∞)上单调递减． 又=1>0，=1<0， 所以存在x0∈(0，)，使得=0， 综上f(x)存在唯一零点x0∈(0，)．…………………………………………6分 (Ⅱ) 解：>等价于． ，…………………………7分 令，则， 令，则，即在(0，+∞)上单调递增． 又，， ∴ 存在t∈(3，4)，使得．……………………………………………9分 ∴ 当x∈(0，t)，在(0，t)单调递增； 当x∈(t，+∞)， 在(t，+∞)单调递减． ∵ ，，， 且当x>3时，， 又，>，， 故要使不等式>解集中有且只有两个整数，a的取值范围应为 ≤．……………………………… ... ...