绵阳市高中2014级第三次诊断性考试 数学（理工类） 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集，，，则 ( ) A． B. C． D． （0,1） 2. 已知是虚数单位，则 ( ) A．1 B． C．2 D． 3. 某路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，假设你在任何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时，看见不是黄灯的概率是( ) A． B． C. D． 4. 等比数列的各项均为正数，且，，则 ( ) A． B． C. 20 D. 40 5. 已知正方形的边长为6，在边上且，为的中点，则 ( ) A．-6 B．12 C.6 D．-12 6. 在如图所示的程序框图中，若函数则输出的结果是( ) A．16 B．8 C. D． 7. 已知函数为奇函数，，是其图像上两点，若的最小值是1，则 ( ) A．2 B． -2 C. D． 8.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是 ( ) A．50 B．75 C.25.5 D．37.5 9. 已知函数，其中.若函数的最大值记为，则的最小值为( ) A． B．1 C. D． 10.已知是双曲线：的右焦点，，分别为的左、右顶点. 为坐标原点，为上一点，轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点,直线与轴交于点，若，则双曲线的离心率为（ ) A．3 B．4 C.5 D．6 11. 三棱锥中，，，互相垂直，，是线段上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球表面积是( ) A． B． C. D． 12. 已知函数，若存在实数满足时，成立，则实数的最大值为( ) A． B． C. D． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若实数满足，则的最小值是 ． 14.过定点的直线：与圆：相切于点，则 ． 15.已知的展开式中各项系数的和为32，则展开式中的系数为 ．（用数字作答） 16.设公差不为0的等差数列的前项和为，若，，成等比数列，且，则的值是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在中，，，分别是内角，，的对边，且. （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，且，求的面积. 18. 共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某市有统计数据显示，2016年该市共享单车用户年龄登记分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁~39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”.已知在“经常使用单车用户”中有是“年轻人”. （Ⅰ）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列列联表，并根据列联表的独立性检验，判断能有多大把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关？ 使用共享单车情况与年龄列联表 年轻人 非年轻人 合计 经常使用单车用户 120 不常使用单车用户 80 合计 160 40 200 （Ⅱ）将频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量，求的分布与期望. （参考数据： 独立性检验界值表 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 其中，，） 19. 已知矩形和菱形所在平面互相垂直，如图，其中，，，点是线段的中点. （Ⅰ）试问在线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，请证明平面，并求出的值；若不存在，请说明理由； （Ⅱ）求二面角的正弦值. 20.已知点，点是椭圆：上任意一点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹记为 ... ...
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