课堂探究 探究一 指数函数的概念 1．判断一个函数是指数函数的方法： (1)看形式：即看是否符合y＝ax(a>0，a≠1，x∈R)这一结构形式． (2)明特征：指数函数的解析式具备的三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数． 2．已知某个函数是指数函数求参数值的步骤 (1)列：依据指数函数解析式所具备的三个特征，列出方程(组)或不等式(组)． (2)解：解所列的方程(组)或不等式(组)，求出参数的值或范围． 【典型例题1】 函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，求a的值． 思路分析：只需让解析式符合y＝ax这一形式即可． 解：因为y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数， 所以解得所以a＝2. 探究二 求指数型函数的定义域、值域 求函数的定义域问题，即求表达式有意义时相应的x的取值范围(集合)；求函数的值域问题主要是借助指数函数的性质，先求出指数位置上的表达式的取值范围，再求原函数的值域． 【典型例题2】 求下列函数的定义域与值域： (1)y＝； (2)y＝； (3)y＝. 解：(1)要使函数y＝2有意义，则有x－3≠0，即x≠3； 因为≠0，所以y＝≠1. 所以所求函数的定义域是{x|x∈R，且x≠3}，值域为{y|y＞0，且y≠1}． (2)因为y＝中的|x|≥0，所以0＜y≤1. 所以所求函数的定义域为R，值域为{y|0＜y≤1}． (3)已知函数可化为y＝，由≥0，得x＞1. 又由＞0，得y＝＞1. 所以所求函数的定义域为{x|x＞1}，值域为{y|y＞1}． 探究三 利用指数函数的性质比较大小 利用指数函数的性质比较大小的方法： 1．把这两个数看作指数函数的两个函数值，再利用指数函数的单调性比较； 2．若两个数不是同一个函数的两个函数值，则寻求一个中间量，中间量常选1，两个数都与这个中间量进行比较； 3．当底数a的情形不确定时，要分类讨论，有些底数不相同的，需利用幂的性质化归为同底，再利用单调性得出结果．【典型例题3】 比较下列各组数的大小： (1) 与； (2)与1； (3)(0.6)－2与. 思路分析：若两个数是同底指数幂，则直接利用指数函数的单调性比较大小；若不同底，一般用中间值法． 解：(1)∵0<<1，∴y＝在定义域R内是减函数， 又∵－1.8>－2.6，∴<. (2)∵0<<1，∴y＝在定义域R内是减函数． 又∵－<0，∴>＝1，∴>1. (3)∵0.6－2>0.60＝1， <＝1，∴0.6－2>. 探究四 指数函数的图象问题 1．牢记指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象恒过定点(0,1)，分布在第一和第二象限． 2．明确影响指数函数图象特征的关键是底数． 3．平移变换(φ>0)，如图(1)所示． 图(1) 图(2) 4．对称变换，如图(2)所示． 【典型例题4】 函数y＝ax－1＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点_____． 解析：方法一：∵指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象过定点(0,1)， ∴函数y＝ax－1＋2中令x－1＝0，即x＝1，则y＝1＋2＝3. ∴函数图象恒过定点(1,3)． 方法二：函数可变形为y－2＝ax－1，把y－2看作x－1的指数函数，则当x－1＝0，即x＝1时，y－2＝1，即y＝3. ∴函数图象恒过定点(1,3)．方法三：由图象变换可知： ∵指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，∴y＝ax－1的图象恒过定点(1,1)． ∴y＝ax－1＋2的图象恒过点(1,3)． 答案：(1,3) 【典型例题5】 先作出函数y＝2x的图象，再通过图象变换作出下列函数的图象： (1)y＝2x－2，y＝2x＋1； (2)y＝2x＋1，y＝2x－2； (3)y＝－2x，y＝2－x，y＝－2－x. 思路分析：先作出y＝2x的图象，再向左(右)、上(下)平移分别得到第(1)(2)题中函数的图象；由y＝2x的图象作关于x轴、y轴、原点的对称变换便得第(3)题中函数的图象．解：列表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝2x … 1 2 4 8 … 根据上表中x，y的对应值在平面直角坐标系中描点作图如图(1)所示． 图(1) (1)函数y＝2x－2的图象可以由y＝2x的图象向右平移2个单位长度得到，函数y＝2x＋1的图象可以由y ... ...
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