绝密★启用前 试卷类型：A 2017年鄂尔多斯市高考模拟考试 理数试题参考答案与评分标准 一、选择题：（每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 B D C B C B A C D A D A 二、填空题：（每小题5分，共20分） 13. ； 14. ； 15. 5； 16. 2. 三、解答题：（共70分） 17.解： (I) 由正弦定理，得， ………………2分 ∵， ∴. ∴，且……………………………………………4分 ∴, ………………………………………………6分 (II) 易知a为最大边，故………………………………………………7分 由,得. ∴最小边为长b. ………………………9分 根据余弦定理，有. ∴………………………………………………………11分 ∴ 即最小边长为1.………………………………………12分 18.解：(I)易求，，，…………………………………3分 (II) ∴从这10辆纯电动乘用车中任选3辆，选到的3辆车续驶里程都不低于180公里的概率为……………………………………………………………6分 (III)X所有可能的取值为5，6.5，8，8.5，10，12. …………………………7分 其中，，， ，， ， X 5 6.5 8 8.5 10 12 P 0.09 0.36 0.36 0.06 0.12 0.01 ∴X的分布列为 ………………………10分 ∴E(X)=5×0.09+6.5×0.36+8×0.36+8.5×0.06+10×0.12+12×0.01=7.5 …………………………………………………………………12分 19.解法一：(I)在平面OAB内作ON⊥OA交AB于点N，连接NC. 又OC⊥OA，OA∩ON=O， ∴OA⊥平面ONC. ………………………………2分 ∵NC平面ONC，∴OA⊥NC. 取Q为AN的中点，连接PQ，则PQ∥NC， ∴PQ⊥OA. ……………………………………3分 在等腰△AOB中，∠AOB=120O,∴∠OAB=∠OBA=30O. 在Rt△AON中，∠OAN=30O，∴ON=AN=AQ. 在△ONB中，∠NOB=120O-90O=30O=∠NBO. ∴NB=ON=AQ，∴……………………5分 (II)连接PN、PO，由已知得OC⊥平面OAB，又ON平面OAB, ∴OC⊥ON，又ON⊥OA，OA∩OC=O， ∴ON⊥平面AOC，∴OP是NP在平面AOC内的射影. 在等腰Rt△AOC中，P为AC的中点， ∴AC⊥OP，则可知AC⊥NP. ∴∠OPN为二面角O-AC-B的平面角.…………………………………………8分 在等腰Rt△AOC中，OC=OA=1，∴OP=. 在Rt△AON中，ON=OAtan30o=.…………………………………………10分 在Rt△PON中，PN= ∴cos∠OPN= ……………………………………………………11分 即二面角O-AC-B的平面角的余弦值为……………………… ………12分 解法二：(I)过O在平面OAB内作OD⊥OA，交AB于点D，以O点为原点，分别以OA、OD、OC为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.………1分 则A(1,0,0)，C(0,0,1)，B(,,0)，∴P(,0,). ……………………2分 设，则Q(,,0)，……………………………………3分 ∴,. 由OA⊥PQ得，∴，∴………… ……4分 故存在Q(,,0)，使得OA⊥PQ.………………………………………5分 此时，AB=，AQ=，∴ …………………………………6分 (II)易求平面OAC的一个法向量为，……………………………7分 而，， 设平面ABC的一个法向量为， 则，∴， 解得. ……………………………………………………………9分 ∴ …………………………………11分 即二面角O-AC-B的平面角的余弦值为……………………………12分 20.解：(I)点到直线的距离是到点的距离的倍， 则， …………………………………………2分 化简得……………………………………………………………4分 (II)设，，，则由， 得，…………………………………………5分 ∵点T、P、Q在椭圆上， ∴所以，，…………………6分 故 …………………8分 设分别为直线OP、OQ的斜率，由题意知， ，因此，…………………………9分 ∴. ……………………………………………………………10分 所以N点是椭圆上的点，而 ... ...
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