2017-2018学年高中数学（北师大版必修5）学业分层测评：第1章 2.1 第2课时 等差数列的性质

学业分层测评(四) (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于(　　) A．40　　 B．42 C．43 D．45 【解析】　法一：a2＋a3＝a1＋d＋a1＋2d＝2a1＋3d＝13， 又∵a1＝2， ∴d＝3，a4＋a5＋a6＝a1＋3d＋a1＋4d＋a1＋5d＝3a1＋12d＝3×2＋12×3＝42. 法二：a1＋a2＋a3＝3a2＝15， ∴a2＝5，d＝3，a5＝a1＋4d＝14. ∴a4＋a5＋a6＝3a5＝3×14＝42. 【答案】　B 2．在－1和8之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则(　　) A．a＝2，b＝5 B．a＝－2，b＝5 C．a＝2，b＝－5 D．a＝－2，b＝－5 【解析】　由等差中项知解得 【答案】　A 3．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为(　　) A．12 B．8 C．6 D．4 【解析】　由等差数列性质a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32， ∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8. 【答案】　B 4．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 【解析】　由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80， ∴a6＝16，∴a7－a8＝(2a7－a8)＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8. 【答案】　C 5．设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是(　　) A．1 B．2 C．4 D．6 【解析】　由题意知，a1＋a2＋a3＝3a2＝12， ∴a2＝4， 又a1·a2·a3＝48，∴a1·a3＝12，即a1·(a1＋2d)＝12. 又a1＝4－d，∴(4－d)(4＋d)＝12，∴d＝±2， 又{an}为递增数列，∴d＞0，∴d＝2.∴a1＝4－d＝2. 【答案】　B 二、填空题6．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为_____．【解析】　设数列首项为a1，则＝1 010，故a1＝5. 【答案】　5 7．若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝_____. 【解析】　∵a60＝a15＋45d，∴d＝，∴a75＝a60＋15d＝20＋4＝24. 【答案】　24 8．一个直角三角形三边长a，b，c成等差数列且数列是递增的，面积为12，则它的周长是_____．【解析】　易知c为斜边，设公差为d(d＞0)，则a＝b－d，c＝b＋d， 所以 解得b＝4，d＝， 从而a＝3，c＝5，a＋b＋c＝12. 【答案】　12 三、解答题 9．(1)已知{an}是等差数列，且a1－a4＋a8－a12＋a15＝2，求a3＋a13的值； (2)已知在等差数列{an}中，若a49＝80，a59＝100，求a79. 【解】　(1)∵{an}是等差数列，∴a1＋a15＝a4＋a12＝a3＋a13＝2a8. 又∵a1－a4＋a8－a12＋a15＝2， ∴a8＝2，即a3＋a13＝2a8＝2×2＝4. (2)∵{an}是等差数列，可设公差为d. 由a59＝a49＋10d，知10d＝100－80，解得d＝2. 又∵a79＝a59＋20d， ∴a79＝100＋20×2＝140. 10．已知a，b，c成等差数列，证明：a2(b＋c)，b2(a＋c)，c2(a＋b)成等差数列. 【证明】　∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b， ∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a) ＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2b) ＝a2c＋c2a－2abc ＝ac(a＋c－2b)＝0， ∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a)， ∴a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差数列． [能力提升] 1．已知等差数列{an}单调递增且满足a1＋a10＝4，则a8的取值范围是(　　) A．(2,4) B．(－∞，2) C．(2，＋∞) D．(4，＋∞) 【解析】　设公差为d，则由a1＋a10＝4得2a1＋9d＝4， 所以a1＝2－d，所以a8＝a1＋7d＝2＋d， 因为d＞0，所以a8＝2＋d＞2. 【答案】　C 2．设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(　　) A．－182 B．－78 C．－148 D．－82 【解析】　a3＋a6＋a9＋…＋a99 ＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d) ＝(a1＋a4＋…＋a97)＋2d×33 ＝50＋2×(－2)×33 ＝－82. 【答案】　D 3．已知数列{an}中，a3＝7，a7＝3，且是等差数 ... ...