2．3.2 空间两点间的距离 1．了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程．(重点) 2．会应用空间两点间的距离公式求空间中的两点间的距离．(难点) [基础·初探] 教材整理1 空间两点间的距离公式 阅读教材P120～P121，完成下列问题． 1．平面直角坐标系中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离为P1P2＝.特别地，点A(x，y)到原点距离为OA＝. 2．空间两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的距离公式是P1P2＝.特别地，点A(x，y，z)到原点的距离公式为OA＝. 1．点P(－2，－1,1)到原点的距离为_____． 【解析】 PO＝＝. 【答案】 2．点A(1,0,2)，B(－3,4,0)，则|AB|＝_____. 【解析】 |AB|＝＝＝6. 【答案】 6 3．给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为，则该点的坐标为_____． 【解析】 设点P的坐标是(x,0,0)，由题意得，P0P＝，即＝，∴(x－4)2＝25，解得x＝9或x＝－1. ∴点P的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)． 【答案】 (9,0,0)或(－1,0,0) 教材整理2 空间两点的中点坐标公式 阅读教材P122，完成下列问题． 连结空间两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的线段P1P2的中点M的坐标为. 1．若O为原点，P点坐标为(2，－4，－6)，Q为OP中点，那么Q点的坐标为_____． 【解析】 设Q(x，y，z)，则x＝＝1，y＝＝－2，z＝＝－3， ∴Q(1，－2，－3)． 【答案】 (1，－2，－3) 2．如图2－3－10，在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，M是OB1与BO1的交点，则M点的坐标是_____． 图2－3－10 【解析】 ∵OA＝2，AB＝3，AA1＝2， ∴O(0,0,0)，B1(2,3,2)． 又∵M为OB1的中点， ∴M. 【答案】 [小组合作型] 空间中两点间距离的计算 如图2－3－11，已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且A′N＝3NC′，试求MN的长． 图2－3－11 【精彩点拨】 解答本题关键是先建立适当坐标系，把M，N两点的坐标表示出来，再利用公式求长度． 【自主解答】 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为正方体的棱长为a，所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)，D′(0,0，a)． 由于M为BD′的中点，取A′C′的中点O′， 所以M，O′. 因为A′N＝3NC′，所以N为A′C′的四等分点，从而N为O′C′的中点，故N，根据空间两点距离公式，可得 MN＝＝a. 利用空间两点间的距离公式求空间两点间距离的步骤： (1)建立适当的坐标系，并写出相关点的坐标； (2)代入空间两点间的距离公式求值． [再练一题] 1．已知△ABC的三个顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)． (1)求△ABC中最短边的边长； (2)求AC边上中线的长度． 【解】 (1)由空间两点间距离公式得 AB＝＝3， BC＝＝， AC＝＝， ∴△ABC中最短边是BC，其长度为. (2)由中点坐标公式得，AC的中点坐标为. ∴AC边上中线的长度为 ＝. [探究共研型] 空间两点间距离公式的应用 探究1 在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是什么？ 【提示】 设M(0，a,0)，由已知得MA＝MB，即＝，解得a＝－1，故M(0，－1,0)． 探究2 方程(x－1)2＋(y－2)2＋(z－3)2＝25的几何意义是什么？ 【提示】 依题意＝5，点(x，y，z)是空间中到点(1,2,3)距离等于5的点，即以点(1,2,3)为球心，以5为半径的球面． 已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，求AB取最小值时A，B两点的坐标，并求此时的AB的长度． 【精彩点拨】 解答本题可由空间两点间的距离公式建立AB关于x的函数，由函数的性质求x，再确定坐标． 【自主解答】 由空间两点间的距离公式得AB＝＝＝， 当x＝时 ，AB有最小值＝， 此时A，B. 解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关 ... ...
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