3.4 导数在实际问题中的应用 近几年来导数的实际应用题在高考试卷中已经出现，并且新教材中导数的实际应用体的比重也有所增加，因此应更加重是这方面的学习。现在，我们研究几个导数在经济生活中的实际问题。 1 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的的两侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为3a元和5a元，问供水站C建在何处才能使水管费用最省？ 分析：根据题设建立数学模型，借助图像寻找个条件间的联系，适当设定变元，构造相应的函数关系，通过求导和其他方法求出最值，可确定C点的位置。 解法一：据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能能使总运费最省，设C点距D点xkm，如图所示，则BD=40，AC=50x, 又设总的水管费用为y元，由题意得 令在（0，50）上，y只有一个极值点，根据实际意义，函数在x=30(km)处取得最小值，此时AC=50-x=20(km)，所以供水站建立在A、D之间距甲厂20间距甲厂20km处，可是水管费用最省。 解法二：设则， 。设总的水管费用为， 依题意，有+= = 令。根据问题的实际意义，当时，函数取得最小值，此时 ，（km），即供水站建在即供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可是供水管费用最省。 评注：解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情境”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系抽象成数学问题，在数学领域寻找适当的方法解决，再返回到实际问题中加以说明。 2. 生产某种电子元件，如果生产一件正品，可获利200元，如果生产一件次品则损失100元，已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产与日产量x的函数关系是 将该产品的日盈利额T（元）表示为日产量x的函数。 为获最大利润，该厂的日产量应定为多少件？ 分析：次品率p=日产次品数/日产量。每天生产x件，次品数为xp，正品数为正品数为x(1p)。 解：因为次品率 ，当每天生产x件时，有件次品，有件正品，所以 =。由得x=16,或x=(舍去)。 当时，时 所以，当x=16时，T最大。及该厂的日产量为6件时，能获得最大盈利。 3. 若电灯（B）可在过桌面上一点O的垂线上移动，桌面上由与点O距离为a的另一点A，问电灯与点O的距离为多大时，可使点A出有最大的亮度？（如图，有光学知识，亮度y与成正比，与成反比） 解：设O 到B的距离为x，则于是 =（c适于灯光强度有关的常数）。 当即方程的根为（舍）与 x + 0 极大值 所以在区间内，函数在点取极大值，也是最大值。即当电灯与O点距离为时，点A 的亮度y为最大。 4. 现要制作一个体积为30的圆柱形无盖容器，其底面用钢板，侧面用铝板。已知每平方米钢板的价格是铝板的3倍，问怎样设计才能是材料费用最少？ 分析：这是一道实际应用题，列出材料费用的函数式，把它转化为求函数最小值的问题。 解析：设圆柱形容器的底面半径为xm，则圆柱的高为，底面面积为，侧面积为。又设每平方米铝板的价格为a元，钢板的价格为3a元，总费用为y元，则，令得 因为y只有一个使其为零的点，即只有一个极值点。由题意，y一定有最小值，故此极值点就是y的最小值点，这是圆柱的高为（m）。 故圆柱的底面半径为m，高为m时总费用最少。 点评：在建立函数表达式时，首先要适当选取自变量及其取值范围，自变量选得恰当有时可减少运算量。 5. （2004年辽宁）甲方是一农场，乙方是一工厂。由于乙方生产需要占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入。在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t吨满足函数关系。若乙方每年生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）。 （1）将乙方的年利润（元）表示为年产量t（吨）的函数，并 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
