曲线和方程知识要点精析 知识网络 重点内容精析 1．“曲线”与“方程”这两个概念的主要区别与联系 ⑴曲线的方程”这一概念中，主要的词是“方程”，方程前面的三个字“曲线的”，是用来限制“方程”的含义的，说明这类方程不能是随意的方程(例如不能是x＋y＋z = 0这样的平面方程 )，而只能是表示“曲线”的方程，因此，“曲线的方程”这个概念反映的是图形所满足的数量关系．反过来，“方程的曲线”这一概念中，主要的词是“曲线”，曲线前面三个字“方程的”，用来限制“曲线”的含义，说明这类曲线只能是有“方程”的曲线(有的曲线没有方程，例如对于某一天气温变化曲线，通常列不出方程)，因此，“方程的曲线”这个概念反映的是数量关系所表示的图形． ⑵“曲线”与“方程”是研究的同一对象(即点的轨迹)的两种表现形式，曲线是轨迹的几何形式，方程是轨迹的代数形式．它们在表现和研究轨迹的性质时，各有所长．几何形式具有直观、形象的优点，代数形式具有便于运算的特性因而具有操作程序化的长处．“曲线”与“方程”之间的实质是一一对应关系，即作为曲线C上的点集P = {M | P(M)}和方程= 0之间的一一对应关系，由曲线与方程的这一对应关系，既可以通过方程研究曲线的性质，又可以深刻认识方程的几何背景，具体解题时最好将二者结合起来，这就是所谓的“数形结合”．曲线与方程的联系，可通过下表理解得更加清楚： ⑶“曲线和方程”的定义中所列的两个条件，正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可，它是判断方程= 0是不是曲线C的方程的依据．例如，方程y = x不能叫做到两坐标轴距离相等的轨迹的方程，到两坐标轴距离相等的轨迹(曲线)也不能叫做方程y = x的曲线．用集合观点解释“曲线和方程”的定义：设P = {具有某种性质(或适合某种条件)的点}，Q = {(x，y)|= 0}，若M(x，y)有：①MP(x，y)Q，即PQ时；② (x，y)Q MP，即QP时，当且仅当PQ且QP，即P = Q时，才称方程= 0为曲线C的方程；曲线C为方程= 0的曲线(图形)． 2．建立坐标系所遵循的一般原则 坐标系建立适当，可使运算过程简单，所得的方程也比较简单，否则会大大增加运算的繁难程度．在实际解题过程中，应充分利用图形的几何特性．如中心对称图形，可利用它的对称中心作为坐标原点；轴对称图形，可以利用它的对称轴作为坐标轴，使横、纵坐标互为相反数；条件中若有直角，可考虑两直角边作为坐标轴等等；原点取在某一定点，坐标轴选在某定直线段所在直线或图形的对称轴；设出各点的坐标，使用字母要尽可能的少． 3．求曲线方程的步骤 求曲线方程，一般有五个步骤，这五个步骤和列方程解应用题的步骤完全类似． ⑴依据已知几何条件建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标； ⑵列出适合条件p的点M的集合P = {M | P(M)}；(此步根据情况可以省略) ⑶用坐标表示条件P(M)，列出方程= 0； ⑷化方程= 0为最简形式； ⑸证明化简后的方程为所求曲线的方程，即验证以⑷中方程的解为坐标的点都在曲线上． 简记为建系、列式、代换、化简、证明． 这五步构成一个整体，每一步都有其特点和重要性．第一步在具体问题中有两种情况：⑴题设中给定坐标系；⑵题设中没有确定坐标系，必须选取适当的坐标系；第二步应仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住与曲线上任意一点M有关的等量关系，列出几何等式；第三步在将几何条件转化为代数方程的过程中 ，常用到一些基本公式；第四步在化简过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“丢解”和“增根”；对第五步“证明”，从理论上讲是必要的，但实际处理上常被省略掉．如遇到特殊情况可适当予以说明，例如据审查，某些点虽然其坐标适合方程，但不在曲线上，那么可通过限制方程中x，y的取值范围予以剔除 ... ...
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