第3章 不等式 3.4基本不等式≤(a≥0，b≥0) 3.4.2 基本不等式的应用 A级 基础巩固 一、选择题 1．若x＞4，则函数y＝x＋( ) A．有最大值－6 B．有最小值6 C．有最大值2 D．没有最小值 解析：y＝x－4＋＋4≥2 ＋4＝6.当且仅当x－4＝时，即x＝5时取得最小值6. 答案：B 2．设x，y∈R，且x＋y＝5，则3x＋3y的最小值是( ) A．10 B．6 C．4 D．18 解析：3x＋3y≥2＝2＝18，当且仅当3x＝3y，即x＝y＝时取等号． 答案：D 3．已知a＋b＝t(a>0，b>0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t等于( ) A．2 B．4 C．2 D．2 解析：当a>0，b>0时，ab≤＝，当且仅当a＝b＝时取等号．因为ab的最大值为2，所以＝2，t2＝8，所以t＝＝2.故选C. 答案：C 4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则( ) A．a＜v＜ B．v＝ C.＜v＜ D．v＝ 解析：设甲地到乙地距离为s，则v＝＝，因为a＜b，所以＜ ＞＝a，＜. 答案：A 5．若xy是正数，则＋的最小值是( ) A．3 B. C．4 D. 解析：＋＝x2＋y2＋＋＋＝＋＋≥1＋1＋2＝4. 当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号． 答案：C 二、填空题 6．已知函数f(x)＝x＋(x>2)的图象过点A(3，7)，则此函数的最小值是_____． 解析：把A(3，7)代入函数关系式可得a＝4， 因为x>2，所以x－2>0.故f(x)＝x－2＋＋2≥6，当x＝4时，取“＝”． 答案：6 7．函数y＝的最小值是_____． 解析：令t＝≥1，则y＝＝t＋≥4， 当t＝2，即x＝±时，ymin＝4. 答案：4 8．已知三个函数y＝2x，y＝x2，y＝的图象都过点A，且点A在直线＋＝1(m>0，n>0)上，则log2m＋log2n的最小值为_____． 解析：由题易得点A的坐标为(2，4)， 因为点A在直线＋＝1(m>0，n>0)上， 所以1＝＋≥2 .所以mn≥16. 所以log2m＋log2n＝log2(mn)≥4.故log2m＋log2n的最小值为4. 答案：4 三、解答题 9．已知x≥，求f(x)＝的最小值． 解：因为x≥，所以x－2＞0. 所以f(x)＝＝＝(x－2)＋≥2. 当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立． 故当x＝3时，f(x)min＝2. 10．过点P(1，2)的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△ABO的面积最小时，求直线l的方程． 解：设A(a，0)，B(0，b)，则a＞0，b＞0， 则l的方程为＋＝1. 又因为l过P点，所以＋＝1，三角形的面积S＝ab. 由＋＝1 ab＝b＋2a≥2 ab≥8，当且仅当b＝2a，即a＝2，b＝4时，Smin＝4. 所以l的方程为＋＝1，即2x＋y－4＝0. B级 能力提升 一、选择题 11．已知向量a＝(x－1，2)，b＝(4，y)．若a⊥b，则9x＋3y的最小值为( ) A．2 B．12 C．6 D．3 解析：因为a⊥b，所以a·b＝0，即4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2， 所以9x＋3y≥2＝2＝6.当且仅当2x＝y＝1时取等号，所以最小值为6. 答案：C 12．已知M是定值，下列各条件中，ab没有最大值的条件是( ) A．a2＋b2＝M B．a，b∈R＋，且a＋b＝M C．a＜0，b＜0，且a＋b＝M D．a·b＜0，a＋b＝M 解析：由ab≤及ab≤对任何实数a，b都成立，且a＝b时，等号成立，可知A、B、C三项均有最大值．但D项中不存在等号成立的条件，故D项没有最大值． 答案：D 13．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( ) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：(x＋y)＝1＋＋＋a≥1＋2＋a＝(1＋)2.由(1＋)2＝9，解得a＝4. 答案：B 二、填空题 14．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是_____． 解析：因为x＋2y＋2xy＝8，所以y＝>0. 所以0
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