3.1.5 空间向量的数量积 1．理解空间向量的夹角的概念，理解空间向量的数量积的概念、性质和运算律．(重点) 2．掌握空间向量的数量积及应用．(重点、难点) 3．理解向量夹角与直线所成角的区别．(易错点) [基础·初探] 教材整理1 空间向量的夹角 阅读教材P91～P92上半部分，完成下列问题． a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉，?a，b?的范围是[0，π]，如果〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b. 如图3 1 25，在正方体ABCD A1B1C1D1中，求向量与夹角的大小． 图3 1 25 【解】 ∵＝， ∴∠CAD1的大小就等于〈，〉． ∵△ACD1为正三角形， ∴∠CAD1＝，∴〈，〉＝. ∴向量与夹角的大小为. 教材整理2 空间向量的数量积 阅读教材P92例1以上的部分，完成下列问题． 1．数量积的定义 设a，b是空间两个非零向量，我们把数量|a||b|·cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2．数量积的性质 (1)cos?a，b?＝(a，b是两个非零向量)． (2)a⊥b a·b＝0(a，b是两个非零向量)． (3)|a|2＝a·a＝a2. 3．数量积的运算律 (1)a·b＝b·a； (2)(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)； (3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( ) (2)在△ABC中，〈，〉＝∠B.( ) (3)两个向量的数量积是数量，而不是向量．( ) (4)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．已知|a|＝，|b|＝，a·b＝－，则a与b的夹角为_____. 【导学号：09390075】 【解析】 cos〈a，b〉＝＝＝－，又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝. 【答案】 教材整理3 数量积的坐标表示 阅读教材P93～P94例3以上的部分，完成下列问题． 1．若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2. (2)a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0(a≠0，b≠0)． (3)|a|＝＝. (4)cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)． 2．空间两点间距离公式 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝. 1．若a＝(－1,0,2)，b＝(x，y,1)，且a⊥b，则x＝_____. 【解析】 ∵a⊥b，∴a·b＝－x＋2＝0，解得x＝2. 【答案】 2 2．与向量a＝(1,2,2)方向相同的单位向量是_____． 【解析】 |a|＝＝3，故与a方向相同的单位向量是＝(1,2,2)＝. 【答案】 [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： [小组合作型] 求空间向量的数量积 已知长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积． (1)·； (2)·. 【精彩点拨】 法一(基向量法)： 与，与的夹角不易求，可考虑用向量，，表示向量，，，，再求结论即可． 法二(坐标法)： 建系→求相关点坐标→向量坐标→数量积． 【自主解答】 法一(基向量法)：如图所示，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0. (1)·＝·(＋)＝b·＝|b|2＝42＝16. (2)·＝(＋)·(＋)＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. 法二(坐标法)：以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，则B(2,0,0)，C(2,4,0)，E(1,0,1)，D1(0,4,2)，F(0,2,2)，A(0,0,0)，B1(2,0,2)， ∴＝(0,4,0)，＝(－1,4,1)，＝(－2,2,2)，＝(2,0,2)， (1)·＝0×(－1)＋4×4＋0×1＝16. (2)·＝－2×2＋2×0＋2×2＝0. 解决此类问题的常用方法 1．基向量法：首先选取基向量，然后用基向量表示相关的向量，最后利用数量积的定义计算．注意：基向量的选取要合理，一般选模和夹角都确定的向 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
