一 平面直角坐标系 主动成长?? 夯基达标 1.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线2x＇2+8y＇2=1，则曲线C的方程为( )? A.50x2+72y2=1 B.9x2+100y2=1? C.25x2+36y2=1 D. 解析:将代入曲线方程2x′2+8y′2=1,得2·(5x)2+8·(3y)2=1,即50x2+72y2=1.? 答案:A 2.将曲线x2+y2=1伸缩变换为的伸缩变换公式为( ) A. B. C. D. 解析:设伸缩变换为代入=1得=1与x2+y2=1比较,得λ2=4,μ2=9.∴λ=2,μ=3.? 答案:A 3.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.? (1)5x+2y=0; (2)x2+y2=1. 解:(1)由伸缩变换得到 ① 将①代入5x+2y=0,得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x′+3y′=0.? 经过伸缩变换后,直线仍然变成直线.? (2)将①代入x2+y2=1,得到经过伸缩变换后的图形的方程是=1.? 经过伸缩变换后,圆可以变成椭圆. 4.在同一平面直角坐标系中，将曲线x2-36y2-8x+12=0变成曲线x＇2-y＇2-4x＇+3=0，求满足图象变换的伸缩变换. 解:设伸缩变换为将其代入方程x′2-y′2-4x′+3=0得λ2x2-μ2y2-4λx+3=0. 与方程x2-36y2-8x+12=0比较系数得 ∴λ=,μ=3.∴伸缩变换为x′= 5.△ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，则A点的轨迹方程是_____. 解析:取B、C所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,则B(-2,0),C(2,0).? 设A(x,y),则D(0,0),|AD|=3.? ∴x2+y2=9(y≠0).? 答案:x2+y2=9(y≠0) 6.在气象台A正西方向300千米处有一台风中心,它以每小时40千米的速度向东北方向移动,距台风中心250千米以内的地方都要受其影响.问:从现在起,大约多长时间后,气象台A所在地将遭受台风影响持续多长时间? 解析:本题的解决如果从题意上考虑,较难入手解决,我们可以考虑通过建立平面直角坐标系来解决.? 解:如图所示,以气象台为坐标原点,正东方向为x轴正方向,建立直角坐标系.则现在台风中心B的坐标为(-300,0).根据题意,可知,t小时后,B1的坐标为(-300+40tcos45°,40tsin45°),即(-300+20t,20t),因为以台风中心为圆心,以250千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响,所以B1在圆上或圆内时,气象台将受台风影响.? 所以令|AB1|≤250,即(-300+20t)2+(20t)2≤2502,整理得16t2-120t+275≤0.? 解得1.99≤t≤8.61.? 故大约2小时后,气象台A所在地将遭受台风影响,大约持续6个半小时. 7.如图,已知A、B、C是直线m上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O＇切直线m于点A，又过B、C作⊙O＇异于m的两切线，切点分别为D、E，设两切线交于点P， （1）求点P的轨迹方程;? （2）经过点C的直线l与点P的轨迹交于M、N两点，且点C分所成的比等于2∶3，求直线l的方程. 解析:先根据圆切线的定义,可得到点P的轨迹是椭圆,然后建立适当的坐标系求出点P的轨迹方程来；根据定比分点坐标公式,找出相关点的坐标来,列出方程组求出点M、N的坐标,从而求出直线方程.? 解:（1）∵|PE|=|PD|,|BD|=|BA|,|CE|=|CA|,? ∴|PB|+|PC|=|PD|+|DB|+|CE|-|PE|=|BD|+|CE|=|AB|+|CA|=18＞6=|BC|,? ∴P点轨迹是以B、C为焦点,长轴长等于18的椭圆. 以B、C两点所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则可设椭圆的方程是=1(a＞b＞0).? ∵a=9,c=3,∴b2=72.? ∴P点的轨迹方程是=1(y≠0).? （2）设M(x1,y1)、N(x2,y2),∵C(3,0)分MN所成的比为,? 由①②消去y2,得(5-x2)2+(1-)=1,? 解得x2=-3,y2=±8,即N(-3,±8).? ∴由C、N可得直线的方程是4x+3y-12=0或4x-3y-12=0. 8.如右图,某隧道设计为双向四车道，车道总宽22 m，要求通行车辆限高4.5 m，隧道全长2.5 km，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. （1）若最大拱高h为6 m，则隧道设计的拱宽l是多少？ （2）若最大拱高h不小于6 m，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为lh，柱体体 ... ...
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