九章算术 学案 (2)

《九章算术》 一、自学目标：通过本专题的学习，了解《九章算术》的主要内容。 二、自学内容提炼 （一）知识梳理： 1、内容 在《九章算术》中的九部分内容,具体如下: “ ”章. 来自于田亩丈量与分配的需要.它提出了完整的 运算法则,以及多边形, ,弓形等的 公式. “ ”章. 来自以易物与交换的需要.以 交换为例.提供了各类比例的算法. “ ”章. 来自于不同等级的分配需要.它提供了的 的法则和 问题的处理方法. “ ”章. 来自于田,地的计算需要.它提出了分数以完整地 , 的程序. “ ”章. 来自于土木工程与水利建设的需要.它讨论了多种立体 公式与工程分配问题. “ ”章. 来自于官方摊派劳役和税收的需要。它提供了解决赋役中的合理分担及 等问题，以及西汉当时社会实际的算术问题。 “ ”章。 来自于两预设答案求解二元问题的特殊需要。它给出的是解决 问题。 “ ”章。 讲的是 方程组的解法，以及给出了 数的加减法则。 “ ”章。 提出了 定理，解勾股形及若干侧高望远等问题。 2、《九章算术》的数学贡献 ①算术方面 ① 《九章算术》中有比较完整的 计算方法，包括四则运算、通分、约分、化带分数为假分数（我国古代称为通分内子，“内”读为纳）等，其中“约分术”给出了求分子、分母最大公约数（中国古代数学家称最大公约数为“等数”）的“更相减损”法，与欧几里得的《原本》中给出的方法是一致的。 ② 算法 在《九章算术》的第二、三、六等章内，广泛地使用了各种 解应用问题。 我国古代数学家刘徽就用“今有术”作为这类比例问题解法的专用名词。 《九章算术》中另一个常用的比率算法是“ 术”，所谓“ ”就是差分，比例分配的意思，是古代处理分配问题的一种方法，另外还有“ ”章则运用比例分配解决粮食运输负担的平均分配。 ③ 术 “ ”术是以盈亏类问题为原型，通过再次假设来求繁难算术问题的解的方法。答曰：“七人，物价五十三”。《九章算术》给出了求解公式。 一些其他的算术问题也可以通过两次假设未知量的值转换为盈不足问题。《九章算术》就用这种方法解决了许多不属于盈不足的问题。因此盈不足是一种创造，在中国古代算法中占有重要的地位。盈不足问题后来传到阿拉伯国家，称为“契丹算法”，受到特别的重视，中世纪传到欧洲，称为“双设法”。 ②代数方面 《九章算术》在代数方面的成就具有世界先进水平。主要包括以下三个方面： ① 术。 《九章算术》在代数上的第一个贡献是引进负数，这是数系扩充的一个重大进展，并给出了对正、负数进行加减运算的正确法则，《九章算术》之后，魏晋时期的数学家刘徽对负数的出现就作了很自然的解释：“两算得失相反，要令正负以名之”，并主张在筹算中用红筹代表正数，黑筹代表负数。 ② 术。 《九章算术》中讲到开平方、开立方的方法，计算步骤和现在的基本一样。本质上是一种减根变换法，开创了后来开更高次方和求高次方程数值解之先河。《九章算术》开方术实际上包含了二次方程x2+bx=c的数值求解程序。特别令人惊异之处，是指出了存在有开不尽的情形。“若开之不尽者，为不可工”，并给这种不尽根数起了一个专门的名字———�面”。 ③ 术 《九章算术》“ ”一章主要讲多元一次联立方程组及其解法， 其解法实质上就是“高斯消元法”，欧洲到17世纪才出现。在《九章算术》中有一题是“五家共井”问题，把它化为联立方程问题，则得到一个含五个方程，六个未知数的方程组，这是世界上最早的不定方程组。《九章算术》 术，是世界数学史上一颗明珠。 ③几何方面 《九章算术》中包含大量的几何知识，分布在“方田”、“商功”和“勾股”各章，“方田”章讲面积计算，“商功”章讲 计算，“勾股”章讲勾投定理的应用。 《九章算术》中的几何问题具有很明显的实际背景，如面积 ... ...