专题1.4生活中的优化问题举例-同步巩固2017-2018学年高二数学人教版（选修2-2）

1.4 生活中的优化问题举例 1．利用导数解决优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．_____是求函数最值问题的有力工具． 解决优化问题的基本思路是： K知识参考答案： 1．导数 K—重点 利用导数解决生活中的优化问题 K—难点 利用导数解决利润最大、用料最省、效率最高等问题 K—易错 求利润最大、用料最省、效率最高等问题时，易忽略实际意义 最大值问题 实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值．若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值． 如图所示，在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？ 【答案】箱子底边长为40cm时，容积最大，最大容积为16000cm3． 【解析】设箱子的底边长为xcm，则箱子高cm， 箱子容积， 得，令，解得（不合题意，舍去），． 当x在内变化时，的正负如下表： 因此在处，函数取得极大值，并且这个极大值就是函数的最大值． 将代入，得最大容积为． 所以，箱子底边长为40cm时，容积最大，最大容积为16000cm3． 【名师点睛】（1）求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值．（2）注意根据实际意义对求出的解进行取舍． 最小值问题 实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值．用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围． 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为10海里/小时时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？ 【答案】速度为20海里/小时时，航行1海里所需的费用总和最小． 【解析】设速度为海里/小时时的燃料费是每小时元， 那么由题设的比例关系得，其中k为比例系数， 又时，p＝6，则，于是有． 又设当船的速度为每小时海里时，航行1海里所需的总费用为q元， 因为每小时所需的总费用是(元)，而航行1海里所需的时间为小时， 所以，航行1海里的总费用为， 所以， 令，解得． 当时，；当时，， 故当时，q取得最小值， 即速度为20海里/小时时，航行1海里所需的费用总和最小． 【名师点睛】本题是费用最少问题，若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左减右增，则此时唯一的极小值就是最小值． 1．某箱子的容积与底面边长x的关系为，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为 A．30 B．40 C．50 D．35 2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件 3．路灯距地平面8 m，一个身高为1.6m的人以2m/s的速度在地平面上，从路灯在地平面上的射影点C开始沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速度v为 A． m/s B． m/s C． m/s D． m/s 4．现有一段长为18 m的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是 A．1 m B．1.5 m C．0.75 m D．0.5 m 5．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为200元，对于多于150件的订购合同，每超过一件，则每件的售价比原来减少1元，则使公司的收益最大时应该订购的合同件数是 A．150 B．175 C．2 ... ...