齐齐哈尔市2017-2018学年度高二上学期期末考试 数学试题(理科)答案 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D A A B A D C B B B D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把正确答案写在答题卡相应题的横线上. 13. -2 14.-4 15. 3 16. ①④⑤ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤. 17.（本题满分10分） 解：（I）由及正弦定理，得 …………………3分 ∵ …………………5分 (II)解：由（I）得， 由余弦定理得 …………………6分 …………………8分 所以的面积为 …………………10分 18.(1)设等差数列的首项为,公差为d.? ? …………………4分 计算得?,? ……………………5分 ……………………6分 (2)证明:?， 前n项和为 ………………………8分 ………………………10分 ………12分 19.解：（1）由题意知频率分布表可知：，所以, ……2分 …………3分 补全频率分布直方图，如图所示． ………………………5分 （2）第2，4，5组总人数为． ……………………6分 故第2组应抽人数为，记为1，2 ……………………7分 第4组应抽人数为，记为 ………………………8分 第5组应抽人数为，记为 ………………………9分 从这6名市民中随机抽取两名的所有的基本事件有： 共有15个，符合条件的有9个； ……………11分 故概率为． ………………………12分 解: （1）由双曲线定义可知 定点可知由可得即轨迹方程C: ………4分 （2）设过点的直线方程为或 ……………………5分 当k存在时，联立 得???（1） ………………6分 当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有 又方程(1)的两个不同的根是两交点A、B的横坐标 ∴，又P（1，1）为线段AB的中点 ……………7分 ∴， 即，k=2． ………………8分 ∴k=2，使但使△＜0 ………………9分 因此当k=2时，方程（1）无实数解 故过点P（1，1）与双曲线交于两点A、B且P为线段AB中点的直线不存在． …………11分 当x=1时，直线经过点但不满足条件， 综上，符合条件的直线不存在． ……………………12分 21.（Ⅰ）证明：找到AD中点I，连结FI， ∵矩形OBEF, ∵G、I是中点，∴GI是的中位线 ∴且 ∵O是正方形ABCD中心 ∴ ∴且 ∴四边形是平行四边形 ∴ ∵面 ∴面 ………………………4分 （Ⅱ）正弦值 解：如图所示建立空间直角坐标系 ，，， 设面的法向量 得： ∴ ………………………6分 ∵面， ∴面的法向量 ………………………7分 ………………………8分 （Ⅲ）∵ ∴ 设 ∴ 得： ………………………10分 ………………………12分 22.解：（Ⅰ）由题意得， 解得 …………2分 故 ………………………4分 （Ⅱ）联立，化简得， ……………5分 △＞0恒成立， 设 则， 得 ……………………6分 ∴， ………………………7分 把直线：代入，得， ∴ ……………………8分 又直线与圆相切∴，即 ∴ ……………………9分 =， ………………11分 当，取最小值． ……………………12分 ... ...
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