【备考2018】高考数学真题精讲精练专题选修4-1 第2讲 直线与圆（2013-2017）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）： 选修4-1 第2讲 直线与圆（答案） 知识回顾 1．圆周角定理与圆心角定理 (1)圆周角定理及其推论 ①定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． ②推论：(i)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． (ii)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． (2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数． 2．弦切角的性质 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 3．圆的切线的性质及判定定理 (1)定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． (2)推论： ①推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ②推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 4．与圆有关的比例线段 定理 名称 基本图形 条件 结论 应用 相交 弦定 理 弦AB、CD相交于圆内点P (1)PA·PB＝ PC·PD (2)△ACP∽△BDP (1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一 (2)求弦长及角 割线 定理 PAB、PCD是⊙O的割 线 (1)PA·PB＝ PC·PD (2)△PAC∽△PDB (1)求线段PA、PB、PC、PD (2)应用相似求AC、BD 切割 线定 理 PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割 线 (1)PA2＝PB·PC (2)△PAB∽△PCA (1)已知PA、PB、PC知二可求一 (2)求解AB、AC 切线 长定 理 PA、PB是⊙O的切线 (1)PA＝PB (2)∠OPA＝∠OPB (1)证线段相等，已知PA求PB (2)求角 5.圆内接四边形的性质与判定定理 (1)圆内接四边形的性质定理 ①定理1：圆内接四边形的对角互补． ②定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． (2)圆内接四边形的判定定理及推论 ①判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． ②推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． 例题精讲 考点一 圆周角、弦切角及圆的切线问题 【变式训练1】如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于点E． （I）求证：CD2﹣DE2=AE×EC； （II）若CD的长等于⊙O的半径，求∠ACD的大小． 【答案】解：（Ⅰ）∵∠ABD=∠CBD，∠ABD=∠ECD， ∴∠CBD=∠ECD，又∠CDB=∠EDC， ∴△BCD∽△CED， ∴， ∴CD2=DE×DB， ∵DE×DB=DE×（DE+BE）=DE2+DE×BE，DE×BE=AE×EC， ∴CD2﹣DE2=AE×EC． （Ⅱ）连接OC，OD，由已知可知△ODC为等边三角形， ∴∠COD=60°．∴∠CBD=∠COD=30°， ∴∠ACD=∠CBD=30° 【考点】相似三角形的判定，圆周角定理 【解析】【分析】（I）由D是的中点，可得∠ABD=∠CBD，根据圆周角定理，可得∠CBD=∠ECD，进而可得△BCD∽△CED，根据相似三角形性质可得CD2=DE×DB，进而得到CD2﹣DE2=AE×EC （II）连接OC，OD，由已知可知△ODC为等边三角形，进而根据圆心角定理得到∠ACD的大小 考点二 与圆有关的比例线段 【变式训练2】在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，1）且互相垂直的两条直线分别与 圆O：x2+y2=4交于点A，B，与圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1交于点C，D． （1）若 ，求CD的长； （2）若CD中点为E，求△ABE面积的取值范围． 【答案】（1）解：设直线AB的方程为：y=kx+1（k≠0）， ∵ ，∴ + =22 ， 化为：k2=15， 解得k= ． ∴直线CD的方程为：y= x+1． ∴|CD|=2 = ． （2）①直线AB为y轴时，直线AB的方程为：x=0，直线CD的方程为：y=1． S△ABE= = =4． ②直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：y=kx+1， 若k=0，则方程为y=1，经过圆心（2，1），此时△ABE不存在，舍去． k≠0时，可得直线CD的方程为：y=﹣ x+1． |AB|=2 =2 ． 联立 ，化为：（k2+1）x2﹣4k2x+3k2=0， △=16k4﹣12（k2+1）k2＞0，化为：k2＞3． ∴x1+x2= ，可得E ． ∴点E到直线AB的距离d= = ． ∴S△ABE= |AB| d= × ... ...