2018精品之高中数学（理）黄金100题系列第28题+利用导数解决应用问题中的优化问题

第 28题 利用导数解决应用问题中的优化问题 I．题源探究·黄金母题 【例1】用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是_____． 【解析】设长方体的宽为xm，则长为2xm，高． 故长方体的体积为 从而 令，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1． 当0＜x＜1时，＞0；当1＜x＜时，＜0，故在 x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值．从而最大体积V＝3（m3），此时长方体的长为2 m，高为1．5 m． 答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1．5 m时，体积最大，最大体积为3 m3． 【例2】圆柱形金属饮料罐容积一定时，它的高与半径应怎样选择，才能使所用材料最省？ 【答案】当罐高与底面直径相等时，所用材料最省． 【解析】设圆柱的高为，底半径为，则表面积． 由，得，因此． 令，解得． 当时，；当时，． 因此，是函数的极小值，也是最小值点． 此时，． 答：当罐高与底面直径相等时，所用材料最省． 【例3】已知某商品进价为元/件，根据以往经验，当售价是元/件时，可卖出件．市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%．现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利润？ 【答案】销售价为元/件时，可获得最大利润． 【解析】设销售价为元/件时，利润 ． 令，解得． 当时，；当时，． 因此，是函数的极小值，也是最小值点．所以，销售价为元/件时，可获得最大利润． 答：销售价为元/件时，可获得最大利润． 精彩解读 【试题来源】例1是人教版A版选修2-2P37习题1．4A组T1改编题．例2：人教版A版选修2-2P37习题1．4A组T3；例3：人教版A版选修2-2P37习题1．4B组T2． 【母题评析】导数在实际中的应用是高中数中常见的一类典型问题，这类题主要考查如何利用导数解决利润最大问题、面积（体积）最大问题、成本最小问题、用料最省问题等．这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等． 【思路方法】 解决优化问题的基本思路： II．考场精彩·真题回放 【例1】【2015高考陕西理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ． 【答案】 【解析】建立空间直角坐标系，如图所示： 原始的最大流量是，设抛物线的方程为（），因为该抛物线过点，所以，解得，所以，即，所以当前最大流量是，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是，所以答案应填：． 【例2】【2016高考江苏17】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍． （I）若则仓库的容积是多少？ （II）若正四棱柱的侧棱长为6m，则当为多少时，仓库的容积最大？ 【答案】（I）312；（II）． 【解析】（I）由已知，得，，故，，故仓库的容积为； （II）解法1：设，仓库的容积为，则，，，，， ， ，当时，，单调递增；当时，，单调递减，因此，当时，取到最大值，即时，仓库的容积最大． 解法2：设，则．连结．因为在中，，即 于是仓库的容积，从而．令，得 或（舍）． 当时，，是单调增函数；当时，，是单调减函数． 故时，取得极大值，也是最大值．因此，当 时，仓库的容积最大． 【例3】【2015高考江苏17】某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2．5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设 ... ...