第二章 随机变量及其分布 2.3.1 离散型随机变量的均值 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E(ξ)＝ A．3 B． C． D．4 【答案】C 【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为： 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率； 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确； 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得. 2．已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中每个白球计1分，每个红球计2分，记X为取出3个球的总分值，则E(X)＝ A． B． C．4 D． 【答案】B 【解析】由题意知，X的所有可能取值为3,4,5，且P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，P(X＝5)＝，所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝. 故选B． 3．已知随机变量X服从二项分布B，则E(3X＋1)＝ A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【解析】∵随机变量X服从二项分布，∴E(X)＝4×＝2，则E(3X＋1)＝3E(X)＋1＝7.故选D． 4．如果a1、a2、a3、a4、a5、a6的期望为3，那么2(a1－3)，2(a2－3)，2(a3－3)，2(a4－3)，2(a5－3)，2(a6－3)的期望是 A．0 B．3 C．6 D．12 【答案】A 【名师点睛】本题中考查期望公式，代入公式计算，即得到答案. 5．若随机变量X的分布列如表，则E(X)等于 X 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，得，所以，故选C. 6．已知离散型随机变量X的分布列为： X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则其数学期望E(X)等于 A．1 B．0.6 C．2＋3m D．2.4 【答案】D 【解析】， ，故选D． 二、填空题：请将答案填在题中横线上． 7．已知随机变量，随机变量，则_____. 【答案】 【解析】由已知，得随机变量服从二项分布，则，故． 8．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，其中k＝1,2,3,4,5,6，则a＝_____，E(ξ)＝_____. 【答案】， 9．设p为非负实数，随机变量X的概率分布列为： X 0 1 2 P －p p 则E(X)的最大值为_____. 【答案】 【解析】，所以的最大值是. 【点睛】本题中由期望公式得到，根据单调性及定义域，得到最大值. 10．设离散型随机变量X可能取的值为1、2、3、4.P(X＝k)＝ak＋b(k＝1、2、3、4)．又X的均值E(X)＝3，则a＋b＝_____. 【答案】 【解析】依题意得，且概率和，解得故. 11．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果： 则该公司一年后估计可获收益的数学期望是_____元． 【答案】4760 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同. （1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率P； （2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X). 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】（1）取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球， 所以P＝＝＝. （2）随机变量X所有可能的取值 ... ...
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