课时作业17 数学归纳法 |基础巩固|(25分钟，60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3. 答案：C 2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上( ) A．k2＋1 B．(k＋1)2 C. D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 解析：当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2， 当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2， 故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故选D. 答案：D 3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是( ) A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(k∈N*) B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(k∈N*) C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(k∈N*) D．假设n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(k∈N*) 解析：n∈N*且为奇数，由假设n＝2k－1(n∈N*)时成立推证出n＝2k＋1(k∈N*)时成立，就完成了归纳递推． 答案：B 4．若命题A(n)(n∈N*)n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立．则有( ) A．命题对所有正整数都成立 B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立 C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立 D．以上说法都不正确 解析：由题意知n＝n0时命题成立能推出n＝n0＋1时命题成立，由n＝n0＋1时命题成立，又推出n＝n0＋2时命题也成立…，所以对大于或等于n0的正整数命题都成立，而对小于n0的正整数命题是否成立不确定． 答案：C 5．k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为(k≥3，k∈N*)( ) A．f(k)＋k－1 B．f(k)＋k＋1 C．f(k)＋k D．f(k)＋k－2 解析：三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋(5－1))． 猜想：若k棱柱有f(k)个对角面， 则(k＋1)棱柱有f(k)＋k－1个对角面． 答案：A 二、填空题(每小题5分，共15分) 6．用数学归纳法证明＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是_____． 解析：观察不等式左边的分母可知，由n＝k 到n＝k＋1左边多出了这一项． 答案：＋＋…＋＋>－ 7．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝_____. 解析：当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5；当a＝3且n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5. 答案：5 8．用数学归纳法证明 1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的过程如下： ①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． ②假设当n＝k时，等式成立，即 1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1， 则当n＝k＋1时， 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1， 所以，当n＝k＋1时等式成立． 由此可知，对任何n∈N＋，等式都成立． 上述证明错误的是_____． 解析：用数学归纳法证明问题一定要注意，在证明n＝k＋1时要用到假设n＝k的结论，所以②错误． 答案：② 三、解答题(每小题10分，共20分) 9．用数学归纳法证明：1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝(2n－1)·n. 证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立． ②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立， 即1＋5＋9＋…＋(4k－3)＝k(2k－1)． 则当n＝k＋1时，左边＝1＋5＋9＋…＋(4k－3)＋(4k＋1) ＝k(2k－1)＋(4k＋1)＝2k2＋3k＋1＝(2k＋1)(k＋1) ＝[2(k＋1)－1](k＋1)＝右边， ∴当n＝k＋1时，命题成立． 由①②知，对一切n∈N*，命题成立． 10．求证：1＋＋＋…＋>(n∈N*)． 证明：①当n＝1时，左 ... ...
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