2．1.1 指数概念的推广 [学习目标] 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.2.会进行根式与分数指数幂的互化.3.掌握根式的运算性质和有理指数幂的运算性质． [知识链接] 1．4的平方根为±2,8的立方根为2. 2．23·22＝32，(22)2＝16，(2·3)2＝36，＝4. [预习导引] 1．把n(正整数)个实数a的连乘记作an，当a≠0时有a0＝1，a－n＝(n∈N)． 2．整数指数幂的运算有下列规则： am·an＝am＋n，＝am－n，(am)n＝amn，(ab)n＝an·bn，()n＝(b≠0)． 3．若一个(实)数x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即xn＝a，就说x是a的n次方根.3次方根也称为立方根． 当n是奇数时，数a的n次方根记作. a＞0时，＞0；a＝0时，＝0；a＜0时，＜0. 当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数．其中正的n次方根叫作算术根，记作.也就是说，当a＞0时，如xn＝a，那么x＝±. 规定：＝0，负数没有偶次方根． 4．式子叫作根式(n∈N，n≥2)，n叫作根指数，a叫作被开方数．一般地，有()n＝a.当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|. 5．当a＞0，m，n∈N且n≥2时，规定 ＝a，＝a. 6．规定0的正分数指数幂为0,0没有负分数指数幂，在a＞0时，对于任意有理数m，n仍有公式 am·an＝am＋n，＝am－n，(am)n＝amn，(ab)m＝am·bm，()m＝(b≠0)． 7．对任意的正有理数r和正数a，若a＞1则ar＞1；若a＜1则ar＜1.根据负指数的意义和倒数的性质可得： 对任意的负有理数r和正数a，若a＞1，则ar＜1；若a＜1则ar＞1. 8．任意正数a的无理数次幂有确定的意义．于是，给了任意正数a，对任意实数x，a的x次幂ax都有了定义．可以证明，有理数次幂的前述运算规律，对实数次幂仍然成立．类似地，还有不等式： 对任意的正实数x和正数a，若a＞1则ax＞1；若a＜1则ax＜1. 对任意的负实数x和正数a，若a＞1则ax＜1；若a＜1则ax＞1. 要点一 根式的运算 例1 求下列各式的值： (1)；(2)；(3)； (4)－，x∈(－3,3)． 解 (1)＝－2. (2)＝＝. (3)＝|3－π|＝π－3. (4)原式＝－＝|x－1|－|x＋3|， 当－3＜x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2. 当1＜x＜3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4. 因此，原式＝ 规律方法 1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值． 2．开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论． 跟踪演练1 化简下列各式． (1)；(2)；(3). 解 (1)＝－2. (2)＝|－10|＝10. (3)＝|a－b|＝ 要点二 根式与分数指数幂的互化 例2 将下列根式化成分数指数幂形式： (1)·； (2)； (3)·； (4)()2·. 解 (1)·＝a·a＝a； (2)原式＝a·a·a＝a； (3)原式＝a·a＝a； (4)原式＝(a)2·a·b＝ab. 规律方法 在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：a＝和a＝＝，其中字母a要使式子有意义． 跟踪演练2 用分数指数幂表示下列各式： (1)·(a＜0)；(2)(a，b＞0)； (3)()(b＜0)；(4)(x≠0)． 解 (1)原式＝a·(－a) ＝－(－a)·(－a)＝－(－a)(a＜0)； (2)原式＝＝ ＝(a·b)＝ab(a，b＞0)； (3)原式＝b××＝(－b)(b＜0)； (4)原式＝＝＝x. 要点三 分数指数幂的运算 例3 (1)计算：0.064－0＋[(－2)3]＋16－0.75＋|－0.01|； (2)化简：÷(a＞0)． 解 (1)原式＝(0.43)－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋(0.12)＝0.4－1－1＋＋＋0.1＝. (2)原式＝[a×·a×()]÷[a×()·a×] ＝a－＋－＝a0＝1. 规律方法 指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质． 跟踪演 ... ...
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