第12讲 变化率与导数、导数的计算（原卷版） 考点 考纲解读 要求 常考题型 1．导数的计算 了解导数概念的实际背景．通过函数图象直观理解导数的几何意义．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝的导数． I 选择题，填空题 2．导数运算的应用 能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． II 选择题，填空题 3．导数的几何意义 并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数． II 选择题，填空题 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ ． (2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的 切线的斜率 (瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为 ． (3)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数． 2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝ f(x)＝xn(n∈Q ) f′(x)＝ f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝ f(x)＝ax(a＞0且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ f(x)＝logax(x＞0，a＞0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x(x＞0) f′(x)＝ 3．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝ ； (2)[f(x)·g(x)]′＝ ； (3)′＝ (g(x)≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝ ，即y对x的导数等于 的导数与 的导数的乘积． 题型一 导数的计算 例1． (1)求下列函数的导数： (1)y＝(1－)； (2)y＝； (3)y＝tan x； (4)y＝3xex－2x＋e； (5)y＝． 【解析】 (1)∵y＝(1－)＝－＝x－－x， ∴y′＝－′＝－x－－x－． (2)y′＝′＝＝＝． (3)y′＝′＝ ＝＝． (4)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′ ＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3x(ln 3)·ex＋3xex－2xln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2． (5)y′＝ ＝＝ 类题通法 1．连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导； 2．分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； 3．对数形式：先化为和、差的形式，再求导； 4．根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； 5．三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； 6．复合函数：由外向内，层层求导． 变式训练 1．求下列函数的导数： (1)y＝x2sin x； (2)y＝ln x＋； (3)y＝； (4)y＝(x2＋2x－1)e2－x． 2．下列求导运算正确的是( ) A．′＝1＋ B．(log2x)′＝ C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos x)′＝－2sin x 题型二 导数运算的应用 例2．(1)(2018·湖北月考)已知函数f(x)的导数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)的值等于( ) A．－2 B．2 C．－ D． (2)在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)的值为 _____ ． 【解析】 (1)因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋， 所以f′(2)＝2×2＋3f′(2)＋，解得f′(2)＝－． (2)因为f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x， 所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8．又数列{an}为等比数列， 所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝4 096． 【答案】 (1)C (2)4 096 类题通法 在求导过程中，要仔细分析函数解析式的特点，紧扣法则，记准公式，预防运算错误． 变式训练 1．若函数f(x) ... ...
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