江苏省海头高级中学高二第一学期第一次月考 数学试题 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程． “,”的否定为_____． 顶点在原点，焦点为的抛物线方程为_____ 点是区域内的点，则取值范围是_____ 双曲线的渐近线方程为_____． 不等式的解集为 椭圆的离心率为,则=_____. 是的_____条件（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要之一） 点P在椭圆+=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标是_____. 设，求函数的最小值为_____． 求经过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为_____. 已知点是抛物线上的一个动点，则到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为_____． 函数，若＜2恒成立的充分条件是，则实数的取值范围是_____． 已知实数满足则的最大值为_____. 如图,在平面直角坐标系xOy中,A1,A2,B1,B2为椭圆(a>b>0)的四个顶点,F为其右焦点,直线A1B2与直线B1F相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,则该椭圆的离心率为_____. 二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知命题方程表示焦点在轴上的椭圆；命题方程表示的曲线是双曲线． （1）若“”为真命题，求实数的取值范围； （2）若“”为假命题、且“”为真命题，求实数的取值范围． 16.（1） 已知，且，求的最小值； （2）若，求函数 的最大值，并求此时x的值. 17.解不等式 18.如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆． （1）若围墙AP，AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？ （2）已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，AP段围墙造价为每平方米150元，AQ段围墙造价为每平方米100元．若围围墙用了30000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？ 19. 阅读： 已知、，，求的最小值. 解法如下：， 当且仅当，即时取到等号， 则的最小值为. 应用上述解法，求解下列问题： （1）已知，，求的最小值； （2）已知，求函数的最小值； （3）已知正数、、，， 求证：. 20.已知椭圆的右焦点，离心率为，过作两条互相垂直的弦，设的中点分别为. （1）求椭圆的方程； （2）证明：直线必过定点，并求出此定点坐标； （3）若弦的斜率均存在，求面积的最大值. 19. （1）， 2分 而， 当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分 （2）， 7分 而，， 当且仅当，即时取到等号，则， 所以函数的最小值为. 10分 （3） 当且仅当时取到等号，则. 16分 20解：（1）由题意：，则， ……3分 椭圆的方程为 （2）斜率均存在，设直线方程为：， ， 得， ……5分 ，故， ……6分 将上式中的换成，则同理可得： ， ……8分 如，得，则直线斜率不存在， 此时直线过点，下证动直线过定点. ……9分 （法一）若直线斜率存在，则 ， 直线为， ……11分 令，得， 综上，直线过定点. ……12分 （法二）动直线最多过一个定点，由对称性可知，定点必在轴上，设与轴交点为，下证动直线过定点. 当时，， ……10分 同理将上式中的换成，可得， ……11分 则，直线过定点. ……12分 （3）由第（2）问可知直线过定点， 故S△FMN=S△FPM+S△FPN ……13分 ， 令，S△FMN ……14分 ，则在单调递减， ……15分 当时取得最大值，此时S△FMN取得最大值，此时. ……16分 ... ...
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