3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算 学习目标：1.理解空间向量的概念．(难点)2.掌握空间向量的线性运算．(重点)3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点) [自 主 预 习·探 新 知] 1．空间向量 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||. 2．几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量： 相等向量 相同 相等 a＝b 3.向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 加法运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 4.空间向量的数乘运算 (1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍． (2)运算律：①λ(a＋b)＝λa＋λb；②λ(μa)＝(λμ)a. 5．共线向量和共面向量 (1)共线向量 ①定义：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． ②共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. ③点P在直线AB上的充要条件：存在实数t，使＝＋t. (2)共面向量 ①定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． ②共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b. ③空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y), 使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. 思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？ (2)若空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足＝＋＋，则点P与点A，B，C是否共面？ [提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量． (2)由＝＋＋得－＝(－)＋(－) 即＝＋，因此点P与点A，B，C共面． [基础自测] 1．思考辨析 (1)共线向量一定是共面向量，但共面向量不一定是共线向量．( ) (2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量．( ) (3)如果＝＋t，则P，A，B共线．( ) (4)空间中任意三个向量一定是共面向量．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× 2．已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则＝( ) A．a＋b－c B．－a－b＋c C．－a＋b＋c D．－a＋b－c C [＝＋＋＝－＋＝－a＋b＋C．] 3．在三棱锥A-BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则＋－－化简的结果为_____． 0 [延长DE交边BC于点F，则有＋＝，＋＝＋＝，故＋－－＝0.] [合 作 探 究·攻 重 难] 空间向量的有关概念 (1)给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b ②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| ③在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝ ④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p. 其中正确命题的序号是_____． (2)如图3-1-1所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量有_____；与向量相反的向量有_____．(要求写出所有适合条件的向量) 图3-1-1 [解析] (1)对于①，向量a与b的方向不一定相同或相反，故①错； 对于②，根据相反向量的定义知|a|＝|b|，故②正确； 对于③，根据相等向量的定义知，＝，故③正确； 对于④，根据相等向量的定义知正确． [答案] ②③④ (2)根据相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，. ... ...
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