/ 第21讲 坐标系与参数方程 / 1.[2018·全国卷Ⅰ] 在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0. (1)求C2的直角坐标方程; (2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程. [试做]? ? ? 2.[2017·全国卷Ⅰ] 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 ??=3cos??, ??=sin?? (θ为参数),直线l的参数方程为 ??=??+4??, ??=1-?? (t为参数). (1)若a=-1,求C与l的交点坐标; (2)若C上的点到l距离的最大值为 17 ,求a. [试做]? ? ? /命题角度 坐标系与参数方程 (1)根据x=ρcos θ,y=ρsin θ以及ρ2=x2+y2可将极坐标方程化为直角坐标方程; (2)化参数方程为普通方程的关键是消参,可以利用加减消元、平方消元、代入等方法实现; (3)解决坐标系与参数方程中求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,一般方法是先分别化为直角坐标方程或普通方程再求解,也可直接利用极坐标的几何意义求解,解题时要结合题目自身特点,灵活选择方程的类型. / /解答1极坐标与简单曲线的极坐标方程 /1 在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x+ 3 y=5 3 ,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4sin θ. (1)求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程; (2)射线OP:θ= π 6 与圆C的交点为O,A,与直线l的交点为B,求线段AB的长. [听课笔记] ? ? ? 【考场点拨】 进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是熟练掌握互化公式:x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2.方程的两边同乘(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法. 【自我检测】 在直角坐标系xOy中,圆C1:(x-2)2+(y-4)2=20,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2:θ= π 3 (ρ∈R). (1)求C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程; (2)若曲线C3的极坐标方程为θ= π 6 (ρ∈R),设C2与C1的交点为O,M,C3与C1的交点为O,N,求△OMN的面积. ? ? /解答2简单曲线的参数方程 /2 已知直线l的参数方程为 ??=1+??cos??, ??=??sin?? (t为参数),曲线C的参数方程为 ??= 3 cos??, ??=sin?? (α为参数),且直线l交曲线C于A,B两点. (1)将曲线C的参数方程化为普通方程,并求当θ= π 4 时,|AB|的值; (2)已知点P(1,0),当直线l的倾斜角θ变化时,求|PA|·|PB|的取值范围. [听课笔记] ? ? ? 【考场点拨】 (1)参数方程的实质是将曲线上每一点的横、纵坐标分别用同一个参数表示出来,所以有时处理曲线上与点的坐标有关的问题时,用参数方程求解非常方便;(2)充分利用直线、圆、椭圆等参数方程中参数的几何意义,在解题时能够事半功倍. 【自我检测】 已知曲线C: 4 ?? 2 9 + ?? 2 16 =1,直线l: ??=3+??, ??=5-2?? (t为参数). (1)写出曲线C的参数方程和直线l的普通方程; (2)设曲线C上任意一点P到直线l的距离为d,求d的最大值与最小值. ? ? /解答3极坐标方程与参数方程的综合应用 /3 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 ??=2+ 2 2 ??, ??=-1+ 2 2 ?? (t为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2 2 acos ??+ π 4 ??> 5 6 . (1)分别写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程; (2)已知点P(2,-1),直线l与曲线C相交于M,N两点,若|MN|2=6|PM|·|PN|,求a的值. [听课笔记] ? ? ? 【考场点拨】 参数方程主要通过代入法或者利用已知恒等式(如cos2α+sin2α=1等三角恒等式)消去参数化为普通方程,通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程.利用关系式 ??=??cos??, ??=??sin??, ?? 2 + ?? 2 = ?? 2 , ?? ?? =tan?? 等可以将极坐标方程与直角坐标方程互化. 【自我检测】 在平面直角坐标系xOy中,直线l的方程为 3 x-y-2 3 =0,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2cos θ=ρ(1-cos ... ...
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