常州市2019届高三上学期期末试卷 数学2019．1 参考公式：样本数据的方差，其中. 柱体的体积，其中为柱体的底面积，为高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上. 1.已知集合，则_____. 2.已知复数满足（是虚数单位），则复数_____. 3. 已知5位裁判给某运动员打出的分数为，且这5个分数的平均 数为，则实数_____. 4. 一个算法的伪代码如右图所示，执行此算法，若输出的值为，则输入的实数的 值为_____. 5.函数的定义域为_____. 6.某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中选修2门课程，则该同学恰好选中1文1理的概率为_____. 7.已知双曲线的离心率为2，直线经过双的焦点，则双曲线的渐近线方程为_____. 8. 已知圆锥，过的中点作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆 柱，圆柱的下底面落在圆锥的底面上（如图），则圆柱的体积与圆锥的 体积的比值为_____. 9.已知正数满足，则的最小值为_____. 10. 若直线与曲线（是自然对数的底数）相切，则实数 _____. 11. 已知函数是偶函数，点是函数图象 的对称中心，则最小值为_____. 12. 平面内不共线的三点，满足，点为线段的中点，的平分线交线段于，若|，则_____. 13. 过原点的直线与圆交于两点，点是该圆与轴负半轴的交点，以为直径的圆与直线有异于的交点，且直线与直线的斜率之积等于，那么直线的方程为_____. 14. 数列满足，且数列的前项和为，已知数列的前项和为1，那么数列的首项_____. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15. (本小题满分14分) 如图，正三棱柱中，点分别是棱的中点. 求证：（1）//平面； （2）平面平面. 16. (本小题满分14分) 已知中，分别为三个内角的对边，且. (1) 求角； (2) 若，且，求的周长. 17.(本小题满分14分) 已知，在平面直角坐标系中，椭圆的焦点在椭圆上，其中，且点是椭圆位于第一象限的交点. (1) 求椭圆的标准方程； (2) 过轴上一点的直线与椭圆相切，与椭圆交于点，已知，求直线的斜率. 18. (本小题满分16分) 某公园要设计如图所示的景观窗格（其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得，如图二中所示多边形），整体设计方案要求:内部井字形的两根水平横轴米，两根竖轴米，记景观窗格的外框（如图二实线部分，轴和边框的粗细忽略不计）总长度为米. (1) 若，且两根横轴之间的距离为米，求景观窗格的外框总长度； (2) 由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过米，当景观窗格的面积（多边形的面积）最大时，给出此景观窗格的设计方案中的大小与的长度. 19. (本小题满分16分) 已知数列中，，且. (1) 求证：是等比数列，并求数列的通项公式； (2) 数列中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求满足条件的项；若不存在，说明理由. 20.(本小题满分16分) 已知函数，函数. (1) 若，求曲线在点处的切线方程； (2) 若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围； (3) 若函数对恒成立，求实数的取值范围.(是自然对数的底数，) 数学Ⅱ（附加题） 21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分） 已知点在矩阵对应的变换作用下得到的点，求： （1）矩阵；（2）矩阵的特征值及对应的特征向量. B．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，求直线被曲线所截的弦长. ... ...
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