第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件 1.命题 (1)命题的概念:数学中把用语言、符号或式子表达的,能够判断 的陈述句叫作命题.其中 的语句叫作真命题, 的语句叫作假命题. (2)四种命题及其相互关系 图1-2-1 特别提醒:若两个命题互为逆否命题,则它们有相同的真假性. 2.充分条件、必要条件与充要条件 (1)如果p q,则p是q的 条件. (2)如果q p,则p是q的 条件. (3)如果既有p q,又有q p,记作p q,则p是q的 条件. 常用结论 1.充要条件的两个结论: (1)若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,则p是r的充分不必要条件; (2)若p是q的充分不必要条件,则 q是 p的充分不必要条件. 2.充分、必要条件与集合的关系 使p成立的对象构成的集合 为A,使q成立的对象构成的集合为B p是q的充分条件 A B p是q的必要条件 B A p是q的充分不必要条件 A B p是q的必要不充分条件 B A p是q的充要条件 A=B 题组一 常识题 1.[教材改编] 对于下列语句:①垂直于同一直线的两条直线必平行吗 ②作△ABC∽△A'B'C'.③x2+2x-3<0.④四边形的内角和是360°.其中是命题的是 .(填序号) 2.[教材改编] 有下面4个命题:①集合N中最小的数是1;②若-a不属于N,则a属于N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;④x2+1=2x的解集可表示为{1,1}.其中真命题的个数为 . 3.[教材改编] 命题“若整数a不能被2整除,则a是奇数”的逆否命题是 . 4.[教材改编] “点P(x,y)在第一象限”是“x+y>1”的 条件. 题组二 常错题 ◆索引:命题的条件与结论不明确;含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况;真、假命题的推理考虑不全面;对充分必要条件判断错误. 5.命题“若a2+b2=0,a,b∈R,则a=b=0”的逆否命题是 . 6.已知命题“对任意a,b∈R,若ab>0,则a>0”,则它的否命题是 . 7.若命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是 . 8.条件p:x>a,条件q:x≥2. ①若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是 ; ②若p是q的必要不充分条件,则a的取值范围是 . 9.已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q的 条件. 探究点一 四种命题及其相互关系 例1 (1)对于命题“单调函数不是周期函数”,下列说法正确的是 ( ) A.逆命题为“周期函数不是单调函数” B.否命题为“单调函数是周期函数” C.逆否命题为“周期函数是单调函数” D.以上都不正确 (2)给出以下四个命题: ①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题; ④若ab是正整数,则a,b都是正整数. 其中为真命题的是 .(写出所有真命题的序号) [总结反思] (1)求一个命题的其他三种命题时,需注意: ①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写为“若p,则q”的形式; ②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. (2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例. (3)当不易直接判断一个命题的真假时,根据互为逆否命题的两个命题同真同假,可转化为判断其等价命题的真假. 变式题 (1)已知命题p:正数a的平方不等于0,命题q:若a不是正数,则它的平方等于0,则q是p的( ) A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题 D.否定 (2)以下关于命题的说法正确的是 .(填写所有正确说法的序号) ①“若log2(a+1)>1,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是增函数”是真命题; ②命题“若a≠0,则a(b+1)≠0”的否命题是“若a=0,则a(b+1)=0”; ③命题“若x,y都是偶数,则(x+1)(y+1)是偶 ... ...
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