第22讲 二倍角公式与简单的三角恒等变换 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α:sin 2α= .? (2)公式C2α:cos 2α= = = .? (3)公式T2α:tan 2α= .? 2.常用的部分三角公式 (1)1-cos α= ,1+cos α= .(升幂公式)? (2)1±sin α= .(升幂公式)? (3)sin2α= ,cos2α= ,? tan2α= .(降幂公式)? (4)sin α=2tanα21+tan2α2,cos α= ,tan α= .(万能公式)? (5)asin α+bcos α= ,其中sin φ=ba2+b2,cos φ=aa2+b2.(辅助角公式)? 3.三角恒等变换的基本技巧 (1)变换函数名称:使用诱导公式. (2)升幂、降幂:使用倍角公式. (3)常数代换:如1=sin2α+cos2α=tanπ4. (4)变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式. 常用结论 半角公式: sin α2=±1-cosα2,cos α2=±1+cosα2,tan α2=±1-cosα1+cosα=1-cosαsinα=sinα1+cosα. 题组一 常识题 1.[教材改编] sin 15°-3cos 15°的值是 .? 2.[教材改编] 已知f(x)=sin2x-12(x∈R),则f(x)的最小正周期是 .? 3.[教材改编] 已知cos(α+β)=13,cos(α-β)=15,则tan αtan β的值为 .? 4.[教材改编] 已知sin θ=35,θ为第二象限角,则sin 2θ的值为 .? 题组二 常错题 ◆索引:已知角与待求角之间关系不清致误;已知三角函数值求角时范围不清致误;asin α+bcos α=a2+b2sin(α+φ)中φ值的确定错误;求三角函数值时符号选取错误(根据求解目标的符号确定). 5.已知sinπ6-α=13,则cosπ3-2α= .? 6.已知α,β均为锐角,且tan α=7,tan β=43,则α+β= .? 7.sin α-cos α=2sin(α+φ)中的φ= .? 8.已知sin 2α=34,2α∈0,π2,则sin α-cos α= .? 探究点一 三角函数式的化简 例1 [2018·东莞考前冲刺] 化简:cos2x-π12+sin2x+π12= ( ) A.1+12cos 2x B.1+12sin 2x C.1+cos 2x D.1+sin 2x (2)化简:tan α+1tanπ4+α2= ( ) A.cos α B.sin α C.1cosα D.1sinα ? ? ? [总结反思] (1)化简标准:函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等.(2)余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升(降)幂的作用. 变式题 1+sin6+1-sin6= ( ) A.2sin 3 B.-2sin 3 C.2cos 3 D.-2cos 3 探究点二 三角函数式的求值 角度1 给值求值 例2 (1)已知sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=35,则cos 2β的值为 ( ) A.725 B.1825 C.-725 D.-1825 (2)[2018·厦门外国语学校月考] 已知tan θ+1tanθ=4,则cos2θ+π4= ( ) A.15 B.14 C.13 D.12 ? ? ? [总结反思] 给值求值是指已知某个角的三角函数值,求与该角相关的其他三角函数值的问题,解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来. 变式题 (1)[2018·菏泽模拟] 已知α∈3π2,2π,sinπ2+α=13,则tan(π+2α)= ( ) A.427 B.±225 C.±427 D.225 (2)[2018·广州七校联考] 若sinπ6-α=13,则cos2π3+2α的值为 ( ) A.-13 B.-79 C.13 D.79 角度2 给角求值 例3 [2019·重庆南州中学月考] 2cos10°sin70°-tan 20°=( ) A.1 B.3-12 C.3 D.32 ? ? ? [总结反思] 该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值. 变式题 tan 70°cos 10°(3tan 20°-1)= ( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2 角度3 给值求角 例4 若sin 2α=55,sin(β-α)=1010,且α∈π4,π,β∈π,3π2,则α+β的值是 ( ) A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4 D.5π4 ... ...
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