2．4.1 & 2.4.2 向量在几何中的应用 向量在物理上的应用 (1)利用向量可以解决哪些常见的几何问题？ (2)如何用向量方法解决物理问题？ (3)如何判断多边形的形状？ 1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在解析几何中的应用 设直线l的倾斜角为α，斜率为k，向量a＝(a1，a2)．若向量a平行于直线l，则k＝tan α＝；若直线的斜率为k＝，则向量a平行于直线l. 3．向量在物理中的应用 (1)力向量． 力向量与自由向量不同，它包括大小、方向、作用点三个要素．在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算． (2)速度向量． 一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示． 1．若向量＝(2,2)，＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( ) A．(0,5) B．(4，－1) C．2 D．5 答案：D 2．在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD是( ) A．直角梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 答案：C 3．力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3,4)，则力F对质点P做的功是_____． 答案：－11 4．经过点A(－1,2)，且平行于向量a＝(3,2)的直线方程是_____． 答案：2x－3y＋8＝0 向量在平面几何中的应用 题点一：平面几何中的垂直问题 1.如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 证明：法一：设＝a，＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0， 又＝＋＝－a＋b， ＝＋＝b＋a， 所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)． 因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. 题点二：平面几何中的平行(或共线)问题 2.如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝. 求证：点E，O，F在同一直线上． 证明：设＝m，＝n， 由＝＝，知E，F分别是CD，AB的三等分点， ∴＝＋＝＋ ＝－m＋(m＋n)＝m＋n， ＝＋＝＋ ＝(m＋n)－m＝m＋n. ∴＝. 又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上． 题点三：平面几何中的长度问题 3.如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b， 而||＝|a－b|＝＝＝＝2， ∴5－2a·b＝4，∴a·b＝，又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴||＝，即AC＝. 用向量方法解决平面几何问题的步骤 向量在解析几何中的应用 [典例] 已知A(－1,2)，直线l：4x－3y＋9＝0.求： (1)过点A且与直线l平行的直线方程； (2)过点A且与直线l垂直的直线方程． [解] 直线l的斜率k＝，向量u＝与直线l平行． (1)设P是过点A且与l平行的直线上的一动点，P的坐标是(x，y)，则＝(x＋1，y－2)， 当且仅当u∥，即1×(y－2)－×(x＋1)＝0时，所求直线与直线l平行． 整理得4x－3y＋10＝0， 这就是所求的过点A且与直线l平行的直线方程． (2)设Q(x，y)为一动点，则＝(x＋1，y－2)，设点Q在过点A且垂直于l的直线上，则u·＝0，即1×(x＋1)＋×(y－2)＝0，整理得3x＋4y－5＝0， 这就是所求的过点A且与直线l垂直的直线方程． 利用方向向量及法向量求直线方程的关键 (1)关键是探寻所求直线的方向向量同已知直线方向向量或法向量的关系． (2)常用结论如下： ①所求直线与已知直线平行，则和已知直线的方向向量平行，和已知直线的法向量垂直． ②所求直线与已知直线垂直，则和已知直线的方向向量垂直，和已知直线的法向量平 ... ...
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