8．3解三角形的应用举例 [读教材·填要点] 1．测量中有关名词、术语 (1)仰角与俯角：在同一铅垂平面内，视线与水平线的夹角，当视线在水平线之上时，称为仰角，当视线在水平线之下时，称为俯角，如图(1)所示． (2)方位角：从指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如：方位角是60°的图形是图(2) ，或称北偏东60°. (3)方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°. 2．用解三角形知识解实际问题的步骤 [小问题·大思维] 用解三角形的知识解决距离、高度问题应用了什么数学思想？ [提示] 体现了数学建模思想，从实际问题出发，经过抽象概括把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理得出数学模型的解，再还原成实际问题的解． 测量距离问题 如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB. 若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离． [解] ∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°， ∴∠DAC＝60°， ∴AC＝DC＝. 在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理， 得BC＝·sin∠BDC＝·sin 30°＝. 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45° ＝＋－2×××＝. ∴AB＝(km)． ∴A，B两点间的距离为 km. 解决该题的切入点是所求量在哪个三角形中，已知是什么，还需要什么，待求的量怎么求出，具体落实到使用哪个定理． 1．如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(视A，B，C，D四点在同一平面内)．求两目标A，B之间的距离． 解：在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°， ∴∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝，∴AD＝3. 在△BCD中，∠CBD＝180°－45°－30°－45°＝60°， 由正弦定理，得＝， ∴BD＝＝＝. 在△ADB中，由余弦定理得， AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB ＝9＋2－2×3××＝5， ∴AB＝，即目标A，B相距 km. 测量高度的问题 A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD. [解] 如图，由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°， 所以CD＝AD. 因此，只需在△ABD中求出AD即可， 在△ABD中， ∠BDA＝180°－45°－120°＝15°， 由＝， 得AD＝＝ ＝800(＋1) (m)． ∴CD＝AD＝800(＋1)≈2 186 (m)． 答：山高CD约为2 186 m. 在测量高度时，要注意理解仰角和俯角的概念，区别在于视线在水平线的上方还是下方，一般步骤是： (1)根据已知条件画出示意图； (2)分析与问题有关的三角形； (3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解； (4)要综合运用立体几何知识与平面几何知识； (5)注意方程思想的运用．, 2．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿A向北偏东30°方向前进100 m到达B处，在B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( ) A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m 解析：选A 如图，设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2×h×100×cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，解得h＝50或h＝－100(舍去)，故水柱的高度是50 m. 3.如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
