探究函数与图象的交点个数问题 函数与 互为反函数，在同一坐标系中，它们的图象的交点个数取决于的取值． 探究 由， 得 （1）当时 ①+②，得. 令 则,即. ∵, ∴为增函数, ∴. 两边取自然对数,得,即. 令. 求导,得． 令,得． 当变化时，的变化情况如下表： — 0 + ↘ 极小值 ↗ 由上表可知,当时,． ∵只有一个极值,∴ . (ⅰ) 当，即时，方程无解，此时函数与的图象没有交点； (ⅱ) 当，即时，方程有一解，此时函数与的图象有一个交点； (ⅲ) 当，即时，由于在内连续，且当时，；当时，，∴方程有两解，此时函数与的图象有两个交点． （2）当时 由①、②，消去，得 ③ 由于，且，故,即． 对③式两边取自然对数，得，即． 两边取自然对数，得． 令． 求导，得． 由，得． 令．则． 由，得． 当时，；当时，． ∴当时，． (ⅰ) 当，即时，恒成立．∴，∵，，∴，即，当且仅当，且时取“＝”号． ∴在内是减函数． 又∵当时，；当时，，且在内连续，∴方程恰有一解，此时函数与的图象有一个交点． (ⅱ) 当，即时，∵，且在内连续，∴存在，使得，∴. 当变化时，的变化情况如下表： － + － ↘ ↗ ↘ 由上表可知，在内是减函数，在内是增函数，在内是减函数. 下面证明,,. ,. 令,. 则当时, . ∴在内是增函数, 又∵在上连续, ∴当时, ,即. ,. 令, .易证它为减函数, ∴当时,,即. ∵, ∴, 又∵当时，； 当时， ，且在内连续，结合的单调性, ∴在区间,, 内各有一个解. ∴此时函数与的图象有三个交点． 综上所述, 函数与图象的交点有如下情况： 当时，没有交点； 当时，有一个交点； 当时，有两个交点； 当时,有一个交点； 当时，有三个交点． ① ② PAGE
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