2019 北京市压轴卷数学试题（理科） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1. 已知，则的值为（） A. B. C. D. 2．下列函数中，值域为R的偶函数是（ ） A．y=x2+1 B．y=ex﹣e﹣x C．y=lg|x| D． 3．若变量满足约束条件,则的最大值为（ ） A． B． C． D． 4. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的值为1，则输出的值为（） A. B. C.D. 5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（） A．27 B．30 C．32D．36 6. “”是直线与直线平行的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件[] C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知点及抛物线上一动点，则的最小值是（） A． B．1 C．2 D． 3 8.设函数的定义域，如果存在正实数，使得对任意，都有，则称为上的“型增函数”，已知函数是定义在上的奇函数，且当时，（）．若为上的“20型增函数”，则实数的取值范围是（） A． B．C． D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分.把答案填在题中的横线上．） 9.函数的最小正周期是 ，最小值是 ． 10．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____． 如果平面直角坐标系中的两点，关于直线对称，那么直线的方程为 ． 12.的二项展开式中项的系数为_____．（用数字作答） 13.若，，，，则，，有小到大排列为 ．[ 14.数列满足：，给出下述命题： ①若数列满足：，则成立； ②存在常数，使得成立； ③若，则； ④存在常数，使得都成立． 上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号) 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题满分13分） 在中，已知， （Ⅰ）求的长； （Ⅱ）求边上的中线的长. 16.（本小题满分13分） 自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下： 20以下 70以上 使用人数 3 12 17 6 4 2 0 未使用人数 0 0 3 14 36 3 0 （1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率； （2）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在的人数，求随机变量的分布列及数学期望； （3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋． （本小题满分13分） 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上． （Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC； （Ⅱ）若M为PD的中点，求证：ME∥平面PAB； （Ⅲ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值． 18. （本小题满分14分） 已知函数. （Ⅰ）当时，求函数的极小值； （Ⅱ）当时，讨论的单调性； （Ⅲ）若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围. 19.（本小题满分14分） 已知圆的切线与椭圆相交于，两点． （1）求椭圆的离心率； （2）求证：； （3）求面积的最大值. 20.（本小题共13分） 已知曲线的方程为：. （1）分别求出时，曲线所围成的图形的面积; （2）若表示曲线所围成的图形的面积，求证：关于是递增的; （3）若方程，，没有正整数解，求证：曲线上任一点对应的坐标，不能全是有理数. 1.【答案】A 【解析】试题分析：因为（1+bi）i=i+bi2=-b+i=-1+i，所以，． 2．【答案】C 【解析】试题分析：y=x2+1是偶函数，值域为：[1，+∞）．y=ex﹣e﹣x是奇函数．y=lg|x|是偶函数，值域为：R．的值域：[0，+∞）． 故选：C 3．【答案】D 【解析】作出约束条件表示的可行域，如图内部（ ... ...
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