第六节椭__圆 1．椭圆的定义 平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数． (1)当2a＞|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段； (3)当2a＜|F1F2|时，P点不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 性 质 范围 x∈[－a，a] y∈[－b，b] x∈[－b，b]， y∈[－a，a] 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点， 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 e＝，且e∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 [小题体验] 1．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为( ) A. B. C. D. 解析：选C ∵a2＝4＋22＝8， ∴a＝2，∴e＝＝＝. 2．已知椭圆的方程为＋＝1(m＞0)，若该椭圆的焦点在x轴上，则实数m的取值范围是_____． 解析：由题可得，m2＜16，因为m＞0，所以0＜m＜4.故实数m的取值范围为(0,4)． 答案：(0,4) 3．(教材习题改编)已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为_____． 解析：设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1， 所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)， 由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1， 把y＝±1代入＋＝1，得x＝±， 又x＞0，所以x＝， ∴点P坐标为或. 答案：或 1．椭圆的定义中易忽视2a＞|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a＜|F1F2|不存在轨迹． 2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为＋＝1(a＞b＞0)． 3．注意椭圆的范围，在设椭圆＋＝1(a＞b＞0)上点的坐标为P(x，y)时，|x|≤a，|y|≤b，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因． [小题纠偏] 1．椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值为( ) A．5 B．3 C．5或3 D．8 解析：选C 当m＞4时，m－4＝1， ∴m＝5；当0＜m＜4时，4－m＝1， ∴m＝3，故m的值为5或3. 2．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2，若点P是椭圆C上的动点，则·的最大值为( ) A. B. C. D. 解析：选B 由椭圆方程知c＝＝1， 所以F1(－1,0)，F2(1,0)． 因为椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2， 则可设A(1，y0)，代入椭圆方程可得y＝， 所以y0＝±. 设P(x1，y1)，则＝(x1＋1，y1)，＝(0，y0)， 所以·＝y1y0. 因为点P是椭圆C上的动点，所以－≤y1≤， 故·的最大值为. [题组练透] 1．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( ) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1或＋＝1 D．以上答案都不对 解析：选C 直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)， 由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1， ∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1. 当焦点在y轴上时， b＝2，c＝1，∴a2＝5， 所求椭圆的标准方程为＋＝1. 2．(易错题)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的标准方程为_____． 解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 由点P(2，)在椭圆上知＋＝1. 又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列， 则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|， 即2a＝2×2c，＝， 又c2＝a2－b2， 联立得a2＝8，b2＝6， 故椭圆方程为＋＝1. 答案：＋＝1 [谨记通法] 求椭圆标准方程的 2种常用方法 定义法 根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程 待定系数法 若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
