课件41张PPT。专题突破二 离心率的求法第二章 圆锥曲线与方程一、以渐近线为指向求离心率 例1 已知双曲线两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为_____.思维切入 双曲线的两渐近线有两种情况，焦点位置也有两种情况，分别讨论即可.解析 由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况. 当双曲线的焦点在x轴上时，若其中一条渐近线的倾斜角为60°，如图1所示； 若其中一条渐近线的倾斜角为30°，如图2所示. 跟踪训练1 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为√二、以焦点三角形为指向求离心率 例2 如图，F1和F2分别是双曲线 (a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为_____.思维切入 连接AF1，在△F1AF2中利用双曲线的定义可求解.解析 方法一 如图，连接AF1，由△F2AB是等边三角形，知∠AF2F1＝30°. 易知△AF1F2为直角三角形，方法二 如图，连接AF1，易得∠F1AF2＝90°， β＝∠F1F2A＝30°，α＝∠F2F1A＝60°，点评 涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义求得 的值.√解析 方法一 如图， 在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，∵|PF1|＋|PF2|＝2a，方法二 (特殊值法)： 在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，∵∠PF1F2＝30°，三、寻求齐次方程求离心率 例3 已知双曲线E： (a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是____.思维切入 通过2|AB|＝3|BC|，得到a，b，c的关系式， 再由b2＝c2－a2，得到a和c的关系式，同时除以a2，即可得到关于e的一元二次方程，求得e.2|BC|＝2c. 又2|AB|＝3|BC|，即2b2＝3ac， ∴2(c2－a2)＝3ac， 两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0， 解得e＝2(负值舍去).点评 求圆锥曲线的离心率，就是求a和c的值或a和c的关系，然后根据离心率的定义求得.但在多数情况下，由于受到题目已知条件的限制，很难或不可能求出a和c的值，只能将条件整理成关于a和c的关系式，进而求得 的值，其关键是善于利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2，化简为参数a，c的关系式进行求解.跟踪训练3 已知椭圆 (a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为_____.由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2， 将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，四、利用直线与圆锥曲线的位置关系求离心率的取值范围[2，＋∞)故离心率e的取值范围是[2，＋∞).√由于直线与双曲线相交于两个不同的点， 则1－a2≠0?a2≠1，且此时Δ＝4a2(2－a2)>0?a2<2， 所以a2∈(0,1)∪(1,2).五、利用焦半径的性质求离心率的取值范围又因为点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a.又a－c<|PF2|
