课件62张PPT。专题突破四 圆锥曲线的定点、定值与最值问题第二章 圆锥曲线与方程 与圆锥曲线有关的定点、定值问题是高考考查的热点，难度较大，此类问题常常作为第19题或第20题的第二问，常以直线与圆锥曲线的位置关系为背景，以坐标运算为基础，一般是证明满足条件的直线过定点，目标代数式为定值，或计算面积、长度、数量积等的最大值、最小值.求解此类问题的关键是引进变化的参数表示直线方程、数量积等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.一、定点问题 例1 已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程；解 如图，设动圆圆心为O1(x，y)， 由题意，得|O1A|＝|O1M|， 当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H， 则H是MN的中点，化简得y2＝8x(x≠0). 又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y2＝8x， ∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点.证明 由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)， P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 将y＝kx＋b代入y2＝8x中， 得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0. 其中Δ＝－32kb＋64>0.即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0， (kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0， 2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0 ③ 将①，②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0， ∴k＝－b，此时Δ>0， ∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1,0).点评 求定点问题，需要注意两个方面： 一是抓“特值”，涉及的定点多在两条坐标轴上，所以可以先从斜率不存在或斜率为0的特殊情况入手找出定点，为解题指明方向. 二是抓“参数之间的关系”，定点问题多是直线过定点，所以要抓住问题的核心，实质就是求解直线方程中参数之间的关系，所以要熟悉直线方程的特殊形式，若直线的方程为y＝kx＋b，则直线y＝kx＋b恒过点(0，b)，若直线方程为y＝k(x－a)，则直线恒过点(a,0).可得a2＝2b2，(2)设椭圆E的左顶点是A，若直线l：x－my－t＝0与椭圆E相交于不同的两点M，N(M，N与A均不重合)，若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标.解 由x－my－t＝0得x＝my＋t， 把它代入E的方程得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－4＝0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1x2＝(my1＋t)(my2＋t) ＝m2y1y2＋tm(y1＋y2)＋t2因为以MN为直径的圆过点A， 所以AM⊥AN，因为M，N与A均不重合，所以t≠－2，由于点T在椭圆内部，故满足判别式大于0，解得a2＝8，b2＝4.(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.证明 方法一 设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.方法二 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，∴直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.点评 (1)求定值问题的常用方法： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关. ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. (2)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思路是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关.在这类问题中选择消元的方向是非常关键的.跟踪训练2 (2018·江西南昌高二检测)已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点D(1,2)为抛物线C上一点. (1)直线l过点F交抛物线C于A，B两点，若|AB|＝5，求直线l的方程；解 依题意，点F的坐标为(1,0). 设直线l的方程为x＝my＋1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，故直线l的方程为2x＋y－2＝0或2x－y－2＝0.(2)过点D作两条倾斜角 ... ...
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