课件25张PPT。专题突破五 利用导数求切线方程第三章 导数及其应用 曲线的切线问题是高考的常见题型之一.而导数f′(x0)的几何意义为曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，所以利用导数解决相切问题是常用的方法.下面对“求过一点的切线方程”的题型做以下归纳. 一、已知切点，求曲线的切线方程 此类题只需求出曲线的导数f′(x)，并代入点斜式方程即可.例1 已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是_____.2x－y＝0解析 设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x， 因为f(x)为偶函数， 所以f(x)＝ex－1＋x，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝2，y－2＝2(x－1)， 即y＝2x.点评 本题可以先利用分段型奇偶性原则，求出函数的解析式，再求函数切线，或者利用原函数与导函数的关系来求解.跟踪训练1 曲线 在点(1，－1)处的切线方程为 A.y＝x－2 B.y＝－3x＋2 C.y＝2x－3 D.y＝－2x＋1√故所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.二、已知过某点，求切线方程 过某点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法. 例2 求过曲线f(x)＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程.解 设P(x0，y0)为切点，又知切线过点(1，－1)，故所求切线方程为y－(1－2)＝(3－2)(x－1)，即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.点评 可以发现直线5x＋4y－1＝0并不以(1，－1)为切点，实际上是经过点(1，－1)，且以 为切点的直线.这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点.跟踪训练2 求过点(2,0)且与曲线f(x)＝ 相切的直线方程.解 设P(x0，y0)为切点，又已知切线过点(2,0)，代入上述方程，三、求两条曲线的公切线 例3 (2018·河南南阳一中月考)若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋ x－9(a≠0)都相切. (1)求切线方程；解 因为y＝x3，所以y′＝3x2，(2)求实数a的值.点评 本例是先求过某点的切线方程，由切线与另一曲线———抛物线相切，利用判别式Δ＝0即可求得参数.√∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1， 又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1. g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，于是解得m＝－2.12345针对训练ZHENDUIXUNLIAN61.函数f(x)＝exln x的图象在点(1，f(1))处的切线方程是 A.y＝2e(x－1) B.y＝ex－1 C.y＝e(x－1) D.y＝x－e√解析 ∵f(x)＝exln x，∴f′(1)＝e，又f(1)＝0， ∴在(1,0)处的切线方程为y＝e(x－1).1234562.已知f(x)＝ex－x，则过原点与f(x)图象相切的直线方程是 A.y＝(e－1)x B.y＝ex C.y＝x D.y＝e2x√解析 设切点坐标为(x0， －x0)， 由题意可得切线斜率k＝f′(x0)＝ －1， 所以切线方程为y＝( －1)x， 由 －x0＝( －1)x0，解得x0＝1， 所以切线方程为y＝(e－1)x.1234563.过点P(3,9)与曲线y＝2x2－7相切的切线的方程为_____ .8x－y－15＝0或16x－y－39＝0123456解析 令y＝f(x)＝2x2－7，则f′(x)＝4x， 由点P(3,9)不在曲线上， 设所求切线的切点为A(x0，y0)， 则切线的斜率k＝4x0， 故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)，解得x0＝2或4， 故切点为(2,1)或(4,25). 从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.1234564.已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是_____.2x＋y＋1＝0解析 设x>0，则－x<0，f(－x)＝ln x－3x，切线方程为y＝－2x－1，即2x＋y＋1＝0.1234565.已知函数y＝x2ln x(x>0). (1)求这个函数的图象在x＝1处的切线方程；解 函数y＝x2ln x的导数为y′＝2xln x＋x， 函数的图象在x＝1处的切线斜率为2ln 1＋1＝1， 切点为(1,0)， 可得切线的方程为y－0＝x－1，即x－y－1＝0.123456(2)若过点(0,0)的直线l与这个函数的图象相切，求直线l的方程.解 设切点为(m，m2ln m)， 可得切线 ... ...
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