2.2 等差数列（3）同步学案

高二数学 必修5 第二章 §2.2 等差数列（3） 班级 姓名 学习目标 1. 掌握等差数列的证明与判断的方法； 2. 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题. 学习过程 一、课前准备 复习1：等差数列定义：即an－an－1＝d (n≥2). 等差数列通项公式：an＝ ,推导出公式：an＝am＋(n－m)d, d= 复习2：等差数列中，公差为，则 若，且,则 ; 特别地，当时 . 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：等差数列的性质 等差数列中，公差为，则 (1)下标成公差为的等差数列的项,,,…组成的新数列仍为等差数列，公差为. (2)若数列也为等差数列，则，，（k,b为非零常数）也是等差数列. (3)仍是等差数列. (4)数列（为非零常数）也是等差数列. 探究任务二：等差数列的证明 判断数列是否为等差数列的常用方法： (1)定义法：证明an－an－1＝d (常数)； (2)中项法：利用中项公式，若2b＝a＋c,则a, b, c成等差数列； (3)递推公式法：an－an－1＝an+1－an或2an=an－1+an+1(n≥2). ※ 典型例题 例1、已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}． (1)求b1和b2； (2)求{bn}的通项公式； (3){bn}中的第110项是{an}的第几项？ 例2、若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{an＋2an＋2}是公差为_____的等差数列． 例3、正项数列中， (1)数列是否为等差数列?说明理由； (2)求. 变式2、已知在数列{an}中，a1＝，an＝2－(n∈N*，n≥2)，又数列{bn}满足bn＝(n∈N*)． (1)求证：数列{bn}为等差数列； (2)求数列{an}中的最大项和最小项． 课后作业 1．等差数列{an}的公差为d，则数列{can}(c为常数且c≠0)是(　　) A．公差为d的等差数列 B．公差为cd的等差数列 C．不是等差数列 D．以上都不对 2．由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…下列说法正确的是(　　)． A．新数列不是等差数列 B．新数列是公差为d的等差数列 C．新数列是公差为2d的等差数列 D．新数列是公差为3d的等差数列 3．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为_____． 4．已知数列{an}满足a＝a＋4，且a1＝1，an＞0，则an＝_____. 5．若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公差分别为d1和d2，则的值为_____． 6．如果有穷数列a1，a2，…，am(m为正整数)满足条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，则称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{cn}中c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，c2＝_____. 7．已知，，成等差数列，试证：a2，b2，c2成等差数列． 8．已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若从数列{an}中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式． 9．已知等差数列{an}，a1＝a，公差d＝1，若bn＝an2－an＋12(n∈N＋)，试判断数列{bn}是否为等差数列？并证明你的结论． 必修5第二章 §2.2 等差数列（3）参考答案 例1、解：(1)∵a1＝3，d＝－5.所以an＝3＋(n－1)(－5)＝8－5n. 数列{an}中项数被4除余3的项依次是第3项，第7项，第11项，…，∴{bn}的首项b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27. (2)设{an}中的第m项是{bn}的第n项，即bn＝am， 则m＝3＋4(n－1)＝4n－1， ∴bn＝am＝a4n－1＝8－5(4n－1)＝13－20n(n∈N＋)． ∵bn－bn－1＝－20(n∈N＋，n≥2)，∴{bn}是等差数列，其通项公式为bn＝13－20n(n∈N＋)． (3)∵b110＝13－20×110＝－2187，设它是{an}中的第m项，则－2187＝8－5m，则m＝439. 例2、解析　(an＋1＋2an＋3)－(an＋2an＋2)＝(an＋1－an)＋2(an＋3－an＋2) ... ...