2.1.1 合情推理 同步学案

高二理科数学 选修2-2 第二章§2.1.1 合情推理 班级 姓名 学习目标 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义； 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 3. 结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义; 4. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用. 学习过程 一、新课导学 探究任务一：归纳推理 问题1:哥德巴赫猜想：观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜想： . 问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳 . 新知：归纳推理就是由某些事物的 ,推出该类事物的 的推理，或者由 的推理.简言之，归纳推理是由 的推理. ※ 典型例题 例1、观察下列等式：1+3=4=， 1+3+5=9=， 1+3+5+7=16=， 1+3+5+7+9=25=， …… 你能猜想到一个怎样的结论？ 变式1：观察下列等式：1=1 1+8=9， 1+8+27=36， 1+8+27+64=100， …… 你能猜想到一个怎样的结论？ 例2、已知数列的第一项，且，试归纳出这个数列的通项公式. 变式2：在数列{}中，（），试猜想这个数列的通项公式. 探究任务二：类比推理 鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理. 新知：类比推理就是由两类对象具有 和其中 ，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由 到 的推理. ※ 典型例题 例3、类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. 类比角度 实数的加法 实数的乘法 运算 结果 运算律 逆运算 单位元 变式3：找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质. 圆的概念和性质 球的类似概念和性质 圆的周长 圆的面积 圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦 与圆心距离相等的弦长相等，与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长 以点为圆心，r为半径的圆的方程为 例4、类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想. 变式4：用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质. 三角形 四面体 三角形的两边之和大于第三边 三角形的中位线平行且等于第三边的一半 三角形的面积为（r为三角形内切圆的半径） 新知： 和 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行 ，然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠. 二、总结提升 1．归纳推理的定义. 2．归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）. 3．类比推理是由特殊到特殊的推理. 4. 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题（猜想）. 5. 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法. 课后作业 一、基础训练题 (　　)1．下列推理是归纳推理的是 A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆 B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式 C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆＋＝1的面积S＝πab D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 (　　)2．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝ A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x) (　　)3．我们把4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目 ... ...