第四节 二次函数与幂函数 A组 基础题组 1.已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点12,22,则k+α=( ) A.12 B.1 C.32 D.2 答案 C 由幂函数的定义知k=1.又f12=22,所以12α=22,解得α=12,所以k+α=32. 2.已知f(x)=ax2-x-c,若f(x)>0的解集为(-2,1),则函数y=f(-x)的大致图象是( ) 答案 C 由f(x)>0的解集为(-2,1),可知函数y=f(x)的大致图象为选项D中的图象,又函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称,故选C. 3.“m=1”是“函数f(x)=x2-6mx+6在区间(-∞,3]上为减函数”的( ) A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 若m=1,则f(x)=x2-6x+6,易知f(x)在区间(-∞,3]上为单调递减函数,即“m=1”是“函数f(x)=x2-6mx+6在区间(-∞,3]上为减函数”的充分条件;反过来,若函数f(x)=x2-6mx+6在区间(-∞,3]上为减函数,则3≤3m,即m≥1,所以“m=1”不是“函数f(x)=x2-6mx+6在区间 (-∞,3]上为减函数”的必要条件.综上所述,“m=1”是“函数f(x)=x2-6mx+6在区间(-∞,3]上为减函数”的充分而不必要条件,故选B. 4.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为-254,-4,则m的取值范围是( ) A.(0,4] B.4,254 C.32,3 D.32,+∞ 答案 C 函数y=x2-3x-4=x-322-254的图象如图. 令y=x2-3x-4=-4,解得x=0或x=3.为了保证函数的值域为-254,-4,则32≤m≤3,故选C. 5.定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x),且当x∈[0,1]时, f(x)=x2-x,则当x∈[-2,-1]时, f(x)的最小值为( ) A.-116 B.-18 C.-14 D.0 答案 A 当x∈[-2,-1]时,x+2∈[0,1],则f(x+2)=(x+2)2-(x+2)=x2+3x+2,又f(x+2)=f((x+1)+1)=2f(x+1)=4f(x),∴f(x)=14(x2+3x+2)=14x+322-116,∴当x=-32时, f(x)取得最小值-116. 6.(2016北京东城期末)已知函数f(x)=a-x2(1≤x≤2)与g(x)=x+1的图象上存在关于x轴对称的点,则实数a的取值范围是 ( ) A.-54,+∞ B.[1,2] C.-54,1 D.[-1,1] 答案 D 设(x,x+1)为函数g(x)=x+1的图象上的点,则(x,-x-1)为函数f(x)=a-x2(1≤x≤2)的图象上的点,所以-x-1=a-x2.依题意得方程x2-x-a-1=0在区间[1,2]上有解. 设h(x)=x2-x-1-a,则有h(1)≤0,h(2)≥0,解得-1≤a≤1.故选D. 7.(2017北京西城二模)函数f(x)=x|x|,若存在x∈[1,+∞),使得f(x-2k)-k<0,则k的取值范围是( ) A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.12,+∞ D.14,+∞ 答案 D 易知f(x)=x|x|在R上单调递增, ∴在[1,+∞)上, f(x-2k)的最小值为 f(1-2k)=(1-2k)|1-2k|. ∴(1-2k)|1-2k|
0. ∵Δ=(-3)2-4×4×1=-7<0, ∴4k2-3k+1>0恒成立,∴k≥12. 当k<12时,(1-2k)2-k<0, 整理得4k2-5k+1<0, 解得140),易知x∈(0,+∞)时, f(x)为减函数,∵f(a+1)0,10-2a>0,a+1>10-2a,解得a>-1,a<5,a>3,∴3